反常积分的研究开题报告

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1、开题报告反常积分的研究一、选题的背景、意义Riemann积分要求积分区间有限且被积函数在该区间上有界.但在实际的应用（特别是物理应用）中,上述条件不满足,仍需要某种形式的积分.因此,积分的概念需要推广,保证我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题,这就是论文所介绍的反常积分或广义积分.首先由一个例子引入：设地球的半径为R,质量为M．根据万有引力定律知,地球对距球心人r(>=R)处质量为m物体的引力为：．特别,当r=R,F=mg,因而．考虑将质量为m的火箭从地面r=R发射到r=x引力所作的功.

2、利用微元法,dW=F(r)dr．因此,．则火箭飞到无穷远处克服地球引力所作的功为．假设以速度发射,它得到的动能为．要使它飞出地球引力范围,则必须．现在中西方的不少著作中都是将反常积分放在积分部分中进行介绍的，在研究反常积分时，一般都将其看成是定积分的延伸，并在论述完反常积分后的紧接着的一章中，会安排数项级数的概念，由此也可以看到反常积分与数项级数，尤其是无穷积分与无穷级数之间的关系.当然也有一些著作是单独对反常积分的某一性质或者是在某种情况下的反常积分进行研究的.应该说，反常积分在大学数学中并不太惹

3、人注意.但随着科技的发展,在现实生活中,越来越多的问题需要用到反常积分,比如在计算第二宇宙速度，在计算储蓄中的年金等方面时，都会涉及到反常积分.相信在不久的将来,反常积分的应用将更加广泛.我们应该对它有更多的关注.二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本论文主要是研究反常积分敛散性的判别法及计算，研究反常积分的特殊性质，讨论反常二重积分的简单问题.在此基础之上，本论文还会研究反常积分与无穷级数的联系与区别。本论文尤其是要研究三个问题.第一，我们平时一般接触的都是一重反常积分，那么究竟多重反常积分会是什

4、么样的.它是否与一重反常积分都有类似的定义和相似的性质，如果不是，它们的区别又在哪里.由于二重的情况可以类似地推广到多重，因此本论文会以二重反常积分为例进行研究.第二，由于反常积分中的无穷积分和数项级数中的无穷级数有着密切的联系，那么究竟它们之间有什么样的联系.无穷积分中的性质是否可以推广到无穷级数中,这些也是本论文需要研究的.第三，本论文还会举出在不同领域中反常积分的一些应用。看看反常积分在现实生活中是如何被应用的.三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标本论文会从反常积分的背景出发,以

5、此来说明为何要引入反常积分.接着,本论文会叙述反常积分的定义和性质及其通常的一般判别方法.此外,本文还特地叙述了反常二重积分的定义和其性质,因为我们平常所遇到的反常积分通常是一重的,但其实生活中有不少地方需要用到二重甚至是多重反常积分,因而对这部分的阐述是很有必要的.另外,本文给出了一些反常积分的计算和其收敛性判别的例子,并举了不同领域中的运用反常积分的事例.此外，本文还会叙述无穷积分与无穷级数的联系与区别.本论文的难点就是在叙述二重反常积分时会将其与一重反常积分进行比较，以及无穷积分与无穷级数之间

6、的比较.通过对反常积分的研究，能够对一重反常积分和多重反常积分的概念，性质，判别法，计算以及无穷积分与无穷级数的联系与区别有一个更为全面，清晰地认识，并对生活中不同领域反常积分的应用有个简单地了解.四、论文详细工作进度和安排1、第七学期第9周至第11周：论文选题，查阅文献资料，收集信息；2、第七学期第12周至第18周：在广泛查阅文献资料的基础上，完成文献综述及其论文开题报告，完成外文翻译；3、第八学期第1周至第3周：完成毕业论文初稿；4、第八学期第4周至第13周:反复修改毕业论文，最后定稿，准备答辩

7、。五、主要参考文献：[1] 华东师范大学数学系．数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2003．[2]韩云端,扈志明.微积分学习指导[M].北京:清华大学出版社,2006.[3] 菲赫金哥尔茨  著, 路见可等  译．微积分学教程（第八版）[M].北京：高等教育出版社,2006．[4]邝荣雨等.微积分学讲义(第二版)第三册[M].北京:北京师范大学出版社,2006.[5] 钟友明，王平平，柳键.微积分[M].北京:科学出版社,2008.[6]安幼山.微积分及其应用[M].北京:高等教育出版

8、社,2006.[7] 莫国良,唐志丰. 微积分学教程[M]. 浙江:浙江大学出版社,2005.[8] 宋明娟,王春.微积分[M].北京:科学出版社,2008.[9] WalterRudin.PringclesofMathmaticleAnalysis[M].Beijing:ChinaMachinePress,2007.[10]MarvinL.Bittinger.CalculusandItsapplication(Eighthedition)[s].ChinaMachi