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1、本科毕业论文学号:反常积分的若干计算方法学院名称:数学与信息科学学院专业名称:数学与应用数学年级班别:2009级应数二班姓名:指导教师:2013年5月河南师范大学本科毕业论文河南师范大学本科毕业论文反常积分的若干计算方法摘要反常积分的应用非常广泛,反常积分包括两类:无穷积分和瑕积分.反常积分的定义是计算反常积分的基础,定积分的计算方法一般也可以用到反常积分的计算中:如换元积分法,分部积分法.文中还介绍了反常积分的其他计算方法:应用复变函数中留数定理的方法可以较简便地计算一些类型的广义积分;还可以用
2、二重积分理论,Lagrange中值定理,Euler公式,函数的对称性,正态分布函数和函数以及概率论方面的知识来计算某些特定类型和相对复杂的反常积分.反常积分的类型复杂多样,求解方法也灵活多变,在计算反常积分时,合理的利用上述一种或几种方法,问题也就迎刃而解,并且解答过程简洁明了.关键词反常积分;计算方法;换元积分法;分部积分法.SeveralcalculationmethodsofimproperintegralAbstractImproperintegralhasextensiveapplica
3、tions.Thispaperpresentstheconceptoftheimproperintegral.Improperintegralincludestwokinds:infiniteintegralandflawpoints.Thedefinitionofimproperintegralisafoundationofcalculatingimproperintegral.Thecalculationmethodsofthedefiniteintegralgeneralcanalsobeu
4、sedtoimproperintegralcalculation:suchasintegrationbysubstitution,integrationbyparts.Byusingresiduetheory,wecanworkoutsomekindsofgeneralizedintegraleasily.Thispaperalsointroducestheothercalculationmethods:doubleintegraltheory,thesymmetry,etc.Ifwecanuse
5、thesemethods,thecalculationofimproperintegralcanbeansweredandthesemethodsmakeanswerprocesssimple.Keywordsimproperintegral;calculationmethod;integrationbysubstitution;integrationbyparts.20河南师范大学本科毕业论文前言反常积分是数学分析的一个重要概念,实际应用中经常会遇到反常积分的计算题.大家都比较熟悉定积分的计算方
6、法:换元法,分部积分法等.反常积分的应用也较广泛,因此有必要研究反常积分的计算方法.其实定积分的计算方法一般也可用到反常积分计算中:如换元积分法,分部积分法.当然反常积分还有很多计算方法:如留数定理,二重积分理论,函数等.合理地使用这些方法,反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答过程简洁明了.近年来,国内许多专家对反常积分的计算方面进行了研究.朱水源2010年在《无穷积分的敛散性的判别和计算》[1]一文中分析了无穷积分的敛散性,并给出了无穷积分的计算方法.赵士银2012年在《用分部积分法计算反常积
7、分》[2]一文中研究了用分部积分法计算反常积分的相关问题.王碧桂2011年在《用参数展开法计算一类反常积分》[3]一文中从参数展开出发,给出了用参数展开计算一类反常积分的方法.孙正杰2010年《一类反常积分的另解及推广》[4]一文中给出了用欧拉公式计算一类反常积分的方法.杨继明2008在《一类反常积分的计算问题》[5]一文中针对反常积分中比较复杂的计算问题,结合复变函数的相关知识,提出来一种用留数定理计算反常积分的方法.该算法有效地解决了一类复杂反常积分计算问题.本文给出的计算方法并没有超出课程教
8、学大纲,只是从不同知识点、不同角度去理解问题,通过分析研究,结合所学内容,巧妙地解决了问题.有的方法采用函数论中的函数[6]的性质,有的方法利用了概率论与数理统计中的标准正态分布的性质[7],有的方法利用了数学分析中不同章节的内容.1反常积分的定义和性质1.1无穷积分的定义和性质定义1设函数定义在无穷区间上,且在任何有限区间上可积.如果存在极限=（1-1）则称此极限为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作（1-2）20河南师范大学本科毕业论文并称收敛.如果极限(1-1)不存
