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《2020高考数学一轮复习 选修4-4 坐标系与参数方程 课时作业70 坐标系 文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时作业70 坐标系[基础达标]1．求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．解析：由得到①将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.2．[2019·南昌模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线C1的方程为x＋y＋2＝0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ2＋4ρsin＋1＝0.(1)求圆C2在直角坐标系下的标准方程；(2)若直线C1与圆C2交于P，Q两点，求△OPQ的面积．解析：(1)ρ2＋4ρsin＋1＝0，即ρ2＋
2、2ρsinθ＋2ρcosθ＋1＝0，即x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，(x＋)2＋(y＋1)2＝3，所以圆C2在直角坐标系下的标准方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝3.(2)由(1)知圆心C2(－，－1)，圆的半径r＝，又圆心C2到直线C1的距离d＝＝1，则
3、PQ
4、＝2＝2.又原点O到直线PQ的距离d1＝＝1，所以S△OPQ＝
5、PQ
6、·d1＝×2×1＝.3．[2019·太原模拟]已知点P是曲线C1：(x－2)2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设
7、点Q的轨迹方程为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2,0)，求△MAB的面积．解析：(1)由得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ.设Q(ρ，θ)，则P，所以ρ＝4cos＝4sinθ，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)点M(2,0)到射线θ＝的距离d＝2sin＝，
8、AB
9、＝ρB－ρA＝4＝2(－1)，则△MAB的面积S＝
10、AB
11、×d＝3－.4．[2019·南昌模拟]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
12、线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)设曲线C1，C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．解析：(1)曲线C1的极坐标方程可以化为ρ2－4ρsinθ＝0，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.曲线C2的极坐标方程可以化为ρsinθ·＋ρcosθ·＝2，所以曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意及(1)得点E的坐标为(4,0)，C2的倾斜角为，所以C2的参数方程为(t为参数)，将C2的参数方程代入
13、曲线C1的直角坐标方程得到2＋－2t＝0，整理得t2－(4＋2)t＋16＝0，判别式Δ＞0，则线段AB的中点对应的参数为2＋1，所以线段AB的中点到点E的距离为2＋1.5．[2019·东北三省模拟]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcosθ＝3，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设点Q在C2上，＝，求动点P轨迹的极坐标方程．解析：(1)联立，得得cosθ＝±，∵0≤θ＜，∴cosθ＝，θ＝，∴ρ＝2，∴C1与C2交点的极坐标为.(2)设P(ρ，θ)，Q
14、(ρ0，θ0)，则ρ0＝4cosθ0，θ0∈，由＝，得∴ρ＝4cosθ，故动点P的极坐标方程为ρ＝10cosθ，θ∈.6．[2019·昆明检测]在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos2θ＝1.(1)求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知M，N是曲线C与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：
15、PM
16、2＋
17、PN
18、2为定值．解析：(1)圆O的参数方程为(α为参数)，由ρ2cos2θ＝1得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1
19、，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，所以曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝1.(2)由(1)知曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝1，不妨令M(－1,0)，N(1,0)，可设P(2cosα，2sinα)，则
20、PM
21、2＋
22、PN
23、2＝(2cosα＋1)2＋(2sinα)2＋(2cosα－1)2＋(2sinα)2＝5＋4cosα＋5－4cosα＝10.所以
24、PM
25、2＋
26、PN
27、2为定值10.[能力挑战]7．[2019·成都市诊断性检测]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O
28、为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.(1)求θ的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求
29、AB
30、的值．解析：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，∵x＝
