2018高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程4 两条直线的交点学案 苏教版必修2

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1、两条直线的交点一、考点突破知识点课标要求题型说明两条直线的交点1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系。2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标。3.会利用直线系方程解决相关问题。填空题解答题体会用代数方法刻画两直线交点关系的过程（由数到形），了解用解析几何解决问题的基本方法，体会“数形结合”的思想。二、重难点提示重点：求两直线的交点坐标及过定点的直线系方程的应用。难点：两直线相交与二元一次方程的关系、应用过定点的直线系方程解题。考点一：两条直线的交点直线：直线：方程组的解与两直线交点的个数之间的关系方程组

2、的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点个数一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行考点二：经过两条直线的交点的直线系过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系（A1x＋B1y＋C1）＋（A2x＋B2y＋C2）＝0（其中、为参数，），当时，方程即为l1的方程；当时，方程即为l2的方程。上面的直线系可改写成A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（其中λ为参数）。但是方程不包括直线l2的方程，虽然这个参数方程形式在解题中很有用处，但在解题中要注意验证l2是否符合题意，否则会

3、出现漏解情况。【规律总结】1.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则（1）l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0（或B1C2－B2C1≠0）；（2）l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.利用上述两组关系解决直线的平行及垂直问题，可以有效避免因字母范围引起的直线斜率问题的讨论.2.（1）三条直线共点的判断方法为：先求出两条直线的交点，再判断这个交点是否在第三条直线上。（2）当若干直线交于一点时，只须由其中两条求其交点，其他直线均过这一点，即这一点满足其他直线方程。【随堂练习】直线

4、l经过原点，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为。思路分析：三条直线共点问题，可用解方程组求交点或直线系解决。答案：方法一　解方程组，得所以两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点坐标为（－1，－2），又直线l经过原点（0,0），设经过原点的直线方程为y＝kx，将（－1，－2）代入方程，得k＝2，所求直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0.方法二　设经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0交点的直线方程为（2x＋3y＋8）＋λ（x－y－1）＝0，又直线l经过原点，把（0,0）代

5、入l的方程，得λ＝8，将λ＝8代入l的方程并整理，得2x－y＝0.技巧点拨：此题用直线系解决比较简单，注意掌握这种方法。例题1（利用方程组判断两条直线的位置关系）判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标。（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；（3）l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0.思路分析：根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断。答案：（1）解方程组得∴直线l1与l2相交，交点坐标为（－1，－1）。（2）解方程组①×2

6、－②得：1＝0，矛盾，∴方程组无解。∴两直线无公共点，l1∥l2.（3）解方程组①×2得4x－6y＋10＝0，∴①和②可以化为同一方程，即l1与l2是同一直线，l1与l2重合。技巧点拨：判定两直线的位置关系，可以转化为求方程组解的情况。若两直线方程组成的方程组有且仅有一组解时，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线平行；若方程组有无数多组解，则说明两直线重合。例题2（直线经过定点问题）已知（k＋1）x－（k－1）y－2k＝0为直线l的方程。求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点坐标。思路分析：令k＝0,1→两特殊直

7、线方程构成方程组→交点坐标→验证。答案：证明：方法一　对于方程（k＋1）x－（k－1）y－2k＝0，令k＝0得x＋y＝0；令k＝1得2x－2＝0。解方程组得两直线的交点为（1，－1）。将交点（1，－1）代入已知直线方程的左边，得（k＋1）－（k－1）（－1）－2k＝0。这表明不论k取何实数，直线l必过定点（1，－1）。方法二　整理直线l的方程，得（x＋y）＋k（x－y－2）＝0，不论k取何实数，直线l的方程为直线系l1＋λl2＝0的形式，因此必过定点。定点坐标可由方程组解得∴直线l经过的定点是M（1，－1）。方法三　由直线l的方程

8、得（k＋1）x＝（k－1）y＋2k，变形为（k＋1）x－（k＋1）＝（k－1）y＋（k－1），即（k＋1）（x－1）＋（1－k）（y＋1）＝0.直线l的方程为过定点（x0，y0）的直线系方程A（x－x0）＋B（y－y0）＝0的形式，所以直线l必过定