2018高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程2 直线方程的几种形式学案 苏教版必修2

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1、直线方程的几种形式一、考点突破知识点课标要求题型说明直线方程的几种形式1.掌握直线方程的几种形式；2.能利用几种形式求直线的方程；3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系。选择题填空题解答题1.理解数形结合的思想，掌握直线方程的几种形式，会根据已知条件求直线方程；2.会根据直线的特征量画直线，研究直线性质。二、重难点提示重点：直线方程的五种形式。难点：直线方程的五种形式的适用条件及其形式特征。考点一：直线方程的几种形式（1）直线的点斜式方程和斜截式方程①过点P1（x1，y1）且斜率为k的直线

2、方程y－y1＝k（x－x1）叫做直线的点斜式方程。②过点P1（x1，y1）且与x轴垂直的方程为x＝x1，即由横坐标为的所有点组成的直线。③当直线经过点P（0，b），且斜率为k的直线的方程为y＝kx＋b，它称为直线的斜截式方程。其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距。（2）直线的两点式方程和截距式方程①已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则其方程为（x1≠x2且y1≠y2），称为直线的两点式方程。当x1＝x2时的方程是x＝x1；当y1＝y2时直线的方程是y＝y1。②已知直线过点A（a,

3、0）、B（0，b），其中a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距，则直线的方程为＋＝1（a≠0，b≠0），称为直线的截距式方程。当ab＝0时直线的方程是x＝a或y＝b。（3）关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A、B不全为0）叫做直线的一般式方程。技巧点拨：直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k（x－x0）不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x＝x1（x1≠x2）和直线y＝y1（y1≠y2）截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C

4、＝0（A2＋B2≠0）平面直角坐标系内的直线都适用例题1（求直线的方程）求过点（4，－3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程。思路分析：要求直线方程，可结合题中的截距的绝对值相等来求，或求出直线的斜率获得直线方程。答案：法1：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b。①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1。∵点（4，－3）在直线上，∴＋＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1。若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7。②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点（4，－3），∴直线的方程为

5、3x＋4y＝0。综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0。法2：设直线l的方程为y＋3＝k（x－4），令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝。又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴

6、－4k－3

7、＝

8、

9、，解得k＝1或k＝－1或k＝－。技巧点拨：1.由于直线的截距式方程不表示过原点的直线，因此解法1首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视。2.求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x＝0，所得y值是在y轴上的截距，令y＝0，所得x值是在x轴上的截距。3.直线方程的确

10、定只需两个量，一点一斜或两点，确定方程时，要选择合适的形式，且最后结果要转化为直线的一般式方程。4.在把其他形式的方程化为一般式方程时，一般是将x的系数化为正数。例题2（直线方程间的综合应用）设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）。（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。思路分析：（1）分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解。（2）分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解。答案：（1）直线l可化为

11、a（x－1）＋x＋y＋2＝0，令x－1=0，x＋y＋2＝0则x=1，y＝－3，所以直线l恒过（1，－3）。当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，即截距相等，∴a＝2时满足条件，此时l的方程为3x＋y＝0；当a＝－1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不合题意；当a≠－1，且a≠2时，由＝a－2，即a＋1＝1，即a＝0。此时直线在x轴、y轴上的截距都为－2，l的方程为x＋y＋2＝0。综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0时，l在两坐标轴上的截距相等。（2）假设存在实数a，使直线l不经过第二象限。将l的方

12、程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，则有或，解得a≤－1。技巧点拨：1.本题（1）在求解过程中，常因忽略直线l过原点的情况而产生漏解；本题（2）在求解过程中，常因漏掉“－（a＋1）＝0”的情形而漏解。2.解答此类综合问题，常采用分类讨论（或数形结合）的思想求解。解题时应结合具体问题选好切入点，以防增（漏）解。　坐标法在实际问题中的应