2019版高考数学二轮复习 限时检测提速练4 小题考法——三角恒等变换与解三角形

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1、限时检测提速练(四)　小题考法——三角恒等变换与解三角形1．(2018·湖南联考)已知θ的始边与x轴非负半轴重合，终边上存在点P(－1，a)且sinθ＝，则a＝(　　)A．－1B．1C．－D．解析：选B　sinθ＝＝，解得a＝1．2．(2018·攀枝花一模)若cos＝，且－≤α≤，则sin2α的值为(　　)A．－B．－C．D．解析：选A　由题意，根据诱导公式得cos＝－sinα＝⇒sinα＝－，又因为sinα＜0，所以－＜α＜0，所以cosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，故选A．3．(2018·邯郸一模

2、)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知absinC＝20sinB，a2＋c2＝41，且8cosB＝1，则b＝(　　)A．6B．4C．3D．7解析：选A　因为absinC＝20sinB，所以abc＝20b，ac＝20，∴b＝＝＝6.选A．4．(2018·济南一模)若sin＝，A∈，则sinA的值为(　　)A．B．C．或D．解析：选B　∵A∈，∴A＋∈，所以cos＜0，且cos＝－＝－，所以sinA＝sin＝sincos－cossin＝，选B．5.(2018·湖北统考)已知α∈，cos＝，则sinα的值等于(　

3、　)A．B．C．D．－解析：选C　因为α∈，所以＋α∈，由cos＝，得sin＝＝，则sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝，故选C．6．(2018·潍坊二模)已知α∈，tan(α－π)＝－，则cos＝(　　)A．B．－C．D．－解析：选B　∵α∈，tan(α－π)＝－，∴tanα＝－，即＝－，∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝，cosα＝－，∴cos＝(cosα＋sinα)＝×＝－，故选B．7．(2018·河南联考)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＝a(a＋c)，则的取

4、值范围是(　　)A．B．C．D．解析：选C　∵b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝a(a＋c)∴ac＝c2－2accosB，∴a＝c－2acosB，∴sinA＝sinC－2sinAcosB＝sin(A＋B)－2sinAcosB＝sin(B－A)，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝B－A，∴B＝2A．∵0＜A＜，0＜B＝2A＜，0＜π－A－B＝π－3A＜，∴＜A＜．∴＝sinA∈．8．(2018·茂名联考)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝(a＋b)2－c2，则sin＝(　　

5、)A．1B．－C．D．解析：选C　∵S＝absinC，cosC＝，∴2S＝absinC，a2＋b2－c2＝2abcosC，代入已知等式得4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，即2absinC＝2abcosC＋2ab，∵ab≠0，∴sinC＝cosC＋1，∵sin2C＋cos2C＝1，∴(cosC＋1)2＋cos2C＝1．解得：cosC＝－1(不合题意，舍去)，cosC＝0，∴sinC＝1，则sin＝(sinC＋cosC)＝.故选C．9．(2018·豫南联考)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c

6、，若2sin＝1，且a＝2，则△ABC的面积的最大值为(　　)A．B．C．D．2解析：选B　sin＝，－＝，A＝，由于a＝2为定值，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos，即4＝b2＋c2＋bc.根据基本不等式得4＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，即bc≤，当且仅当b＝c时，等号成立．S△ABC＝bcsinA≤××＝，故选B．10．(2018·湖北统考)锐角△ABC中，角A所对的边为a，△ABC的面积S＝，给出以下结论：①sinA＝2sinB·sinC；②tanB＋tanC＝2tanB·tanC；③tanA＋tan

7、B＋tanC＝tanA·tanB·tanC；④tanA·tanB·tanC有最小值8．其中正确结论的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选D　由S＝＝absinC，得a＝2bsinC，又＝，得sinA＝2sinBsinC，故①正确；由sinA＝2sinBsinC，得sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，两边同时除以cosBcosC，可得tanB＋tanC＝2tanBtanC，故②正确；由tan(A＋B)＝且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，所以＝－tanC，整理移项得

8、tanA＋tanB＋tanC＝2tanAtanBtanC，故③正确；由tanB＋tanC＝2tanBtanC，tanA＝－tan(B＋C)＝－，且tanA，tanB，tanC都是正数，得tanAtanBtanC＝·tanBtanC＝·tanBtanC＝，设m＝tanBtanC－1，则m＞0