2019-2020年高中第二册(下A)数学两个平面垂直的判定和性质(I)

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1、2019-2020年高中第二册(下A)数学两个平面垂直的判定和性质(I)教学目标：1．理解两个平面垂直的定义．2．掌握面面垂直的判定定理与性质定理．3．能应用面面垂直的判定与性质解决简单问题．教具准备：三角板、投影胶片．教学过程：［设置情境］提问：（1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？（2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？容易得出结论：电线杆与地面应该垂直，否则容易倾倒；如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌墙时，不能让墙面倾斜．（3）我们

2、怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜”这一事实呢？［探索研究］1．平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定定理提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？（教师可鼓励学生结合自己的生活阅历大胆想象、猜测，并可用书作墙面、桌面作为地面进行模拟．学生不管想出何种方法，也不管其是否可行，教师都应给以表扬、鼓励并作出相应的分析．）由上面的讨论分析，教师得出两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平

3、面互相垂直．已知：，（图1）．求证：．证明：设，则由知，、共面．图1∵，，∴，垂足为点．在平面内过点作直线，则是二面角是直二面角．∴．3．两个平面垂直的性质提问：为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？先让学生思考，然后演示实验：将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直．当书面沿书面与桌面的交线转动时，由物理学原理知，它会倒塌．由此得到启发，让学生思考：如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？先让学生思考一段时间，然后分析：如图2，，，，，求证：．图2分

4、析：在内作．要证，只需证垂直于内的两条相交直线就行，而我们已经有，只需寻求另一条就够了，而我们还有这个条件没使用，由定义，则为直角，即有，也就有，问题也就得到解决．可由学生写出证明过程．由上面的讨论，我们就得到了两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．下面我们来看一下两个平面垂直的性质的另一个定理，也即课本的例2（P37）．如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．已知：，，，（图3）．图3求证：．证明：设．过

5、点在平面内作直线，根据上面的定理有．因为经过一点只能有一条直线与平面垂直，所以直线应与直线重合．∴．4．例题分析例题如图4，是⊙的直径，点是⊙上的动点，过动点的直线垂直于⊙所在平面，、分别是、的中点，直线与平面有什么关系？试说明理由．图4解：由垂直于⊙所在平面，知，，即是二面角的平面角．由是直径上的圆周角，知．因此，平面平面．由是△两边中点连线，知，故．由两个平面垂直的性质定理，知直线与平面垂直．注意：本题也可以先推出垂直于平面，再由，推出上面的结论．［演练反馈］1．如图5，在空间边形中，平面，，，．求证：（

6、1）；（2）平面平面．图5图6图72．如图6，是△所在平面外一点，，，．求证：平面平面．3．如图7，垂直于矩形所在平面，、分别是、的中点，二面角为．求证：平面平面．［参考答案］1．提示：由，，得面，从而面面，又，所以面，所以，得面．2．提示：取中点，连结、．，，得．3．提示：取中点，连结、，证明：，，，，，面，，，面，面．［总结提炼］定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的，理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义．证明面面垂直要从寻找面的垂线入手，课本第37页上的例2也可以当作面面垂直的一条性质

7、定理，在解题时注意应用．布置作业：课本P39习题9.66，7，8，9，10．板书设计：1．两个平面垂直的判定3．两个平面垂直性质之二2．两个平面垂直的性质之一4．例题