2019-2020年高中第二册(下A)数学两个平面垂直的判定和性质(1)

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1、2019-2020年高中第二册(下A)数学两个平面垂直的判定和性质(1)教学目标：1．理解二面角的有关概念，能画出二面角．2．会求二面角的平面角．教具准备：投影胶片、三角板．教学过程：［设置情境］看看日常生活中常见的例子：公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．那么，怎么定义两个平面所成的角呢？［探索研究］1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二

2、面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．（3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角．①直立式②平卧式图12．二面角的平面角教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有大小．而且其大小是惟一确定的．平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况．为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题．从而提问：二面角的大小应该怎么度量？让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到

3、度量二面角大小的方法．现给出二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．如图2，二面角，，，，，．是二面角的平面角．图2二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，平面角为；当两个半平面合成一个平面时，平面角为．求解二面角问题的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素：（1）确定二面角的棱上一点；（2）经过这点分别在两个面内引射线；（3）所引的射线都垂直于棱．平面角是直角的二面角叫做直二面角．3．例题分析例1如图3，平面角为锐角的二面

4、角，，，，若与所成角为，求二面角的平面角．图3解：作于，作于，连结，则，是二面角的平面角．又是与所成的角，设，则，，．∴．例2正三角形边长为10，平面，、与平面的距离为4和2，、在平面的同侧，求：平面与平面所成的角．解：如图4．设、是、在平面上的射影，延长交平面于，则平面．由已知可得、分别是和的中点．∴图4由得．又，故，由三垂线逆定理得．由于，则．∴．［演练反馈］1．课本P36练习1，2，3，4．2．二面角指的是（）A．两个平面相交所成的角B．经过同一条直线的两个平面所组成的图形C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形D．两个相交平

5、面所夹的不大于的角3．已知△中，，，，在平面内，△所在平面与面成角，则△在平面内的射影面积可能是（）A．B．C．D．4．已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点到棱的距离为4，那么的值等于（）A．B．C．D．5．已知二面角的平面角为，，若到平面的距离为，则点在上的射影到平面的距离为________________．6．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（）A．相等B．互补C．互余D．无法确定7．如图5，，过点引所在平面的斜线，与、分别成、角，求二面角的平面角的余弦值．图58．如图6

6、，在正方体中，求二面角的平面角的正切值．图69．如图7，在的二面角内有一点，它到、面的距离分别为3和5，求点到棱的距离．图7［参考答案］1．略．2．C3．D4．C5．6．B7．提示：在上任取一点，作交于点，作交与点，令，则即为所求，先在△及△中算出、、、，再在△中算出．8．提示：连结交于点，连结，证明就是二面角的平面角．9．提示：分别作、垂直于面、于点、，证明面，令交于于点，连结、，证明，，为所求．在△中用余弦定理算出．又、、、共圆，可由正弦定理去算．［总结提炼］求二面角的平面角，首先要选择一个合适的方案画出二面角，其次要能够根据定

7、义作出二面角的平面角，用三垂线定理作二面角的平面角是最常用的方法，用三垂线定理必须先找到一个参考平面，二面角的两个半平面之一往往就是参考平面，而三垂线定理的特点是斜线和射影同时垂直于面内的直线，这恰好符合二面角的平面角的两边同时垂直于棱的要求，最后要注意作、证、算的步骤安排，当然有时也直接按定义去作二面角的平面角．布置作业：课本P39习题9.61，2，3，4，5．板书设计：1．二面角例1练习2．二角面的平面角例2