2019-2020年高中第二册(下A)数学直线与平面垂直的判定与性质(I)

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1、2019-2020年高中第二册(下A)数学直线与平面垂直的判定与性质(I)教学目标：使学生掌握直线和平面垂直的性质，点到面的距离，线到面的距离；对学生进行转化思想渗透，培养学生空间想象能力；使学生从问题解决过程，认识事物的发展、变化、规律。教学重点：直线和平面垂直的性质。教学难点：性质定理的证明、等价转化思想的渗透。教学过程：1．复习回顾：1.判定直线和平面垂直的方法有几种？［生］定义，例1的结论、判定定理.2.各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？［生］若能确定直线和平面内任意一线垂直，则运用定义说明.若能

2、说明所证直线和平面的一条垂线平行，则可运用例题结论说明之.若能说明直线和平面内两相交线垂直，则运用判定定理去完成判定.2．讲授新课：［师］直线和平面是否垂直的判定方法上节课已研究过，这节课我们来共同探讨：直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？下面先思考一个问题：例1：已知:a⊥α，b⊥α.求证：b∥a.［师］此问题是在a⊥α，b⊥α的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难，而利用反证法来完成此题，相对要容易，但难在辅助线b′的做出，这也是立体几何开始这部分较难的一个证明.在师的指导下，学

3、生尝试证明，待后给出过程.证明：假定b不平行于a，设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线∵a∥b′，a⊥α∴b′⊥α即经过同一点O的两条直线b、b′都垂直于平面α，而这是不可能的，因此，b∥a.有了上述证明，师生可共同得到结论：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.［师］下面给出点到面的距离.从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间距离叫做这个点到这个平面的距离.应明白，点到面的距离是一线段.同学思考例2、考虑其证法，特别是其转化的思

4、想.例2：已知一条直线l和一个平面α平行，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.生依题思考片刻，师可指导生找解题途径.［师］要证明结论，需说明其上任两点到面距离相等即可，而这两条相等的线段若是能使其夹在两平行线间最好，为此，去作辅助面完成证明.证明：经过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′、B′.因AA′⊥α，BB′⊥α∴AA′∥BB′设经过AA′和BB′的平面为β，β∩α＝A′B′∵l∥α∴l∥A′B′∴AA′＝BB′由A、B是直线l上任取的两点，

5、可知直线l上各点到平面α的距离相等.以上证明生在师指导下完成.［师］从整个证明过程能否看出转化思想渗透.在教师的指导下：［生］从证明过程看出，这是一道空间图形的问题，问题的求解关键是利用辅助面β，平面β起了一个桥梁作用，它将空间问题转化为平面问题，即在同一平面内（β），解决平行线间的平行线段相等问题，这就容易多啦.［师］说的很好，许多空间问题都需这样转化为平面问题，在以后的学习中，大家不妨体会该思想、感悟其意图，其次由该题可得下面结论.一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这

6、个平面的距离.而线面距离也是通过转化为点面距离而完成的.例3：如图，已知AC＝AB＝BD，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC和BD所成的角为600，求AB和CD所成的角。解：分别作BE∥CD，CE∥BD，BE、CE相交于E，连结AE∵BD⊥AB，CE∥BD∴AB⊥CE，又AC⊥AB∴AB⊥平面ACE，得AB⊥AE∵AC＝BD，CE＝BD∴AC＝CE又∠ACE＝600，∴△ACE是正三角形得AC＝AE，又AC＝AB∴AB＝AE，得所求角为450。另：当∠ACE＝1200时，所求角为600。3．课堂练习：（一）P35练

7、习3.（二）补充练习1）已知直线a、b、c和平面β，则a∥b的充分条件是（）A．a∥β，b∥βB．a⊥β,b⊥βC．a⊥c，b⊥cD．a与c，b与c所成角相等2）平面α外的点A到平面α内各点的线段中，以OA最短，那么OA所在直线与平面α的关系是（）A.平行B.垂直C.在α内D.不确定3）如果平面外一直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.一定垂直4）矩形ABEF和矩形EFCD不共面，已知EF＝4，BD＝5，求平

8、行直线AB与CD之间的距离.解答：1.排除法找满足题意的选择支B［对于选择支A，平行于同一面的两线可能相交，也可能异面，故不一定推出a∥b，排除A.对于选择支C，因垂直于同一线的两线可能异面、故排除C.对于选择支D，若a、b、c三线能围成三角形.且a与c、b与c成角相等，则a与b不平行，排除D，故选B.而B利用性质定理可验证其正确.］2.此题也可用排除法找到正确选择支B［