2018-2019高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.1 单调性学案 苏教版选修1 -1

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1、3.3.1　单调性学习目标　1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会用导数法求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点　函数的单调性与导函数正负的关系思考1　观察下列各图，完成表格内容.函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性正正[1，＋∞)上单调递增正正R上单调递增负负(0，＋∞)上单调递减负负(0，＋∞)上单调递减负负(－∞，0)上单调递减思考2　依据上述分析，可得出什么结论？答案　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上，①如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；②如

2、果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减.梳理　(1)导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性f′(x)>0k>0锐角上升单调递增f′(x)<0k<0钝角下降单调递减(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零单调递减f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零常函数f′(x)＝01.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)>0，那么f(x)在区间(a，b)内单调递增.(　√　)2.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它在区间(a，b

3、)上都有f′(x)>0.(　×　)3.函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是和(1，＋∞).(　√　)4.函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调增区间为.(　×　)类型一　求函数的单调区间例1　求f(x)＝3x2－2lnx的单调区间.考点　利用导数研究函数的单调性题点　不含参数求单调区间解　f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝6x－＝＝，由x>0，解f′(x)>0，得x>；由x>0，解f′(x)<0，得0

4、域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数.跟踪训练1　求函数f(x)＝的单调区间.考点　利用导数研究函数的单调性题点　不含参数求单调区间解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，得x<3.又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3

5、).例2　讨论函数f(x)＝x2－alnx(a≥0)的单调性.考点　利用导数研究函数的单调性题点　求含参数函数的单调区间解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝.设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a.当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；当a>0时，由g(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去).当x∈时，g(x)<0，即f′(x)<0；当x∈时，g(x)>0，即f′(x)>0.所以当a>0时，函数f(x)在区间上为减函数，在区间上为增函数.综上，当a＝0时，函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单

6、调增区间是，单调减区间是.引申探究若将本例改为f(x)＝ax2－lnx(a∈R)呢？解　f′(x)＝2ax－＝，当a≤0时，且x∈(0，＋∞)，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去).当x∈时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数；当x∈时，f′(x)>0，∴f(x)为增函数.综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数；当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数.反思与感悟　(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误.(

7、2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.跟踪训练2　已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其中x∈R，t∈R.当t≠0时，求f(x)的单调区间.考点　利用导数研究函数的单调性题点　求含参数函数的单调区间解　f′(x)＝12x2＋6tx－6t2＝6(x＋t)(2x－t)，令f′(x)＝0，得x