2018版高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 单调性学案 苏教版选修1-1

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1、3．3.1　单调性学习目标　1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间．知识点　函数的单调性与导函数正负的关系思考1　观察下列各图，完成表格内容函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性正[1，＋∞)上单调______R上单调________负(0，＋∞)上单调______(0，＋∞)上单调______(－∞，0)上单调______思考2　依据上述分析，可得出什么结论？　梳理　(1)导数值切线的斜

2、率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0________0______角单调______<0________0______角单调______(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递________f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零单调递________f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零常函数f′(x)＝0类型一　求函数的单调区间命题角度1　求不含参数的函数的单调区间例1　求f(x)＝3x2－2lnx的单调

3、区间．　　　反思与感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．跟踪训练1　求函数f(x)＝的单调区间．　　　命题角度2　求含参数的函数的单调区间例2　讨论函数f(x)＝x2－alnx(a≥0)的单调性．引申探究若将本例改为f(x)＝ax2－lnx(a∈R)呢？　　　反思与感悟　(1)在判断含有参数的函数的单调性时，

4、不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．跟踪训练2　已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其中x∈R，t∈R.当t≠0时，求f(x)的单调区间．　　　类型二　证明函数的单调性问题例3　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．　　反思与感悟　关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数

5、的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.跟踪训练3　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．　　类型三　已知函数的单调性求参数范围例4　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．　　　反思与感悟　已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问

6、题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．跟踪训练4　已知函数f(x)＝x3－ax2－(a＋1)x＋2在区间[1,2]上为减函数，求实数a的取值范围．　　1．关于函数f(x)＝1－x－sinx，下列说法正确的是________．(填序号)①在(0,2π)上是增函数；②在(0,2π)上是减函数；③在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数；④在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数

7、．2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是________．3．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调增区间为________．4．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为________．5．求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间．　　　1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x

8、)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．提醒：完成作业　第3章　§3.3　3.3.1答案精析问题导学知识点思考1　正　递增　正　正　递增　负　递减　负　负　递减　负　负　递减思考2　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上，①如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；②如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减．梳理　(1)>　锐　上升　递增　<