2018-2019高中数学 第二章 数列 习题课（一）求数列的通项公式学案 苏教版必修5

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1、习题课(一)　求数列的通项公式学习目标　1.了解通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法.2.掌握利用递推公式求通项公式的常见方法.3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法．知识点一　通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式思考　你能看出数列(1)：－1,1，－1,1…与数列(2):0,2,0,2…的联系吗？由此写出数列(2)的一个通项公式．答案　数列(1)每项加1得到数列(2)．数列(1)的通项公式是an＝(－1)n，故数列(2)的通项公式是an＝(－1)n＋1.梳理　通过数

2、列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找an与n，an与an＋1的联系．知识点二　利用递推公式求通项公式思考　还记得我们是如何用递推公式an＋1－an＝d求出等差数列的通项公式的吗？答案　累加法．梳理　已知递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式．赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等．知识点三　利用前n项和Sn与an的关系求通项公式思考　如何用数列{an}的前n项和

3、Sn表示an?答案　an＝梳理　当已知Sn或已知Sn与an的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式．在应用上式时，不要忘记对n讨论．1．数列可由其前四项完全确定．(×)2．可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n任意赋值．(√)3．{Sn}也是一个数列．(√)类型一　通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式例1　由数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,3,5,3,5，…；(2)，，，，，…；(3)2，，，，，…；(4)，，，，，….考点　数列

4、的通项公式题点　根据数列的前几项写出通项公式解　(1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n.(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an＝.(3)数列可化为1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…，所以它的一个通项公式为an＝n＋.(4)数列可化为，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝.反思与感悟　这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点

5、(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．跟踪训练1　由数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)1，－7,13，－19,25，…(2)，，，，，…(3)1，－，，－，…考点　数列的通项公式题点　根据数列的前几项写出通项公式解　(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(6n－5)．(2)数列化为，，，，，…，分子、分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an

6、＝.(3)数列化为，－，，－，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1.类型二　利用递推公式求通项公式命题角度1　累加、累乘例2　(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；(2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an.考点　递推数列通项公式求法题点　一阶线性递推数列解　(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(

7、n≥2)，即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2)，a1＝1也符合上式．∴an＝.(2)由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得(n－1)个等式累乘之，即··…＝×××…×(n≥2)，∴＝(n≥2)，又∵a1＝，∴an＝(n≥2)，a1＝也符合上式．∴an＝.反思与感悟　型如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：第一步　将递推公式写成an＋1－an＝f(n)．第二步　依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们累加起来．第三

8、步　得到an－a1的值，解出an.第四步　检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式．累乘法类似．跟踪训练2　(1)已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__________．考点　递推数列通项公式求法题点　一阶线性递推数列答案　(n∈N*)解析　由an＋1＝2nan，得＝2n，即··…＝21×22×23×…×2n－1，即＝21＋2＋3＋…＋(n－1)(经验证a1＝1也符合)(n∈N*)．