2018-2019高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.1.2 充分条件和必要条件学案 苏教版选修1 -1

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1、1.1.2　充分条件和必要条件学习目标　1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判断应归结为判断命题的真假.知识点一　充分条件与必要条件的概念给出下列命题：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若ab＝0，则a＝0.思考1　你能判断这两个命题的真假吗？答案　(1)真命题，(2)假命题.思考2　命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？答案　命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能b＝0.梳理　命题真假“若p则

2、q”为真命题“若p则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件知识点二　充要条件的概念思考1　命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中的条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？答案　只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立.思考2　若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？答案　因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件.梳理　一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p

3、⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.知识点三　常见的四种条件1.从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件如果原命题为“若p则q”，逆命题为“若q则p”原命题逆命题条件p与结论q的关系结论真假p⇒q，但q⇏pp是q成立的充分不必要条件假真q⇒p，但p⇏qp是q成立的必要不充分条件真真p⇒q，q⇒p，即p⇔qp是q成立的充要条件假假p⇏q，q⇏pp是q成立的既不充分又不必要条件2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件前提：设集合A＝{x

4、x满足p}，B＝{x

5、x满足q}.若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p

6、是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件1.若q是p的必要条件，则p是q的充分条件.(　√　)2.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.(　√　)3.若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立.(　√　)类型一　充要条件的判断例1　判断下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：α＝，q：cosα＝；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)在△ABC中，p：a>b，q：sinA>sinB；(4

7、)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.考点　条件的概念及判断题点　充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断解　(1)∵α＝，∴cosα＝，但cosα＝推不出α＝，∴p是q的充分不必要条件.(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以推出(a－2)(a－3)＝0，因此p是q的必要不充分条件.(3)在△ABC中，∵由正弦定理＝，知a>b可以推出sinA>sinB，sinA>sinB可以推出a>b，∴p是q的充要条件.(4)∵∴p是q的既不充分又不必要条件.反思与感悟　充分条件、必

8、要条件的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论.②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.(2)命题判断法：①如果命题：“若p则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.②如果命题：“若p则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.跟踪训练1　设x∈R，则“3－x≥0”是“

9、x－1

10、≤2”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)考点　条件的概念

11、及判断题点　充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案　必要不充分解析　∵3－x≥0⇔x≤3，

12、x－1

13、≤2⇔－1≤x≤3，故“3－x≥0”是“

14、x－1

15、≤2”的必要不充分条件.类型二　充分条件、必要条件的应用例2　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.考点　充分条件、必要条件的概念及判断题点　由充分条件、必要条件求参数的范围解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x

16、1－m≤x≤1

17、＋m}{x

18、－2≤x≤10}，故有或解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m

19、0＜m≤3}.引申探究1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充