2018-2019版高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布学案 新人教A版选修2-3

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1、§2.4　正态分布学习目标　1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．知识点一　正态曲线思考　函数f(x)＝，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．答案　由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为，由函数表达式可知，函数图象的对称轴为x＝μ，∴μ＝72，且＝，∴σ＝10.∴f(x)＝(x∈R)．梳理　(1)正态曲线函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ

2、(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：知识点二　正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(a

3、分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．知识点三　3σ原则1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(1)P(μ－σ

4、的图象的应用例1　如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．考点　正态分布的概念及性质题点　求正态分布的均值或方差解　从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.由＝，解得σ＝.于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.反思与感悟　利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．跟

5、踪训练1　某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同考点　正态分布密度函数的概念题点　正态曲线答案　A解析　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.类型二　利用正态分布的对称性求概率例2　设X～N(1,22)，

6、试求：(1)P(－15)．考点　正态分布的概念及性质题点　正态分布下的概率计算解　因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－15)＝P(X≤

7、－3)＝[1－P(－3c＋1)＝P(Xc＋1)＝P(Xμ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－