2018-2019学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布学案 新人教A版选修2-3

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1、2．4　正态分布　1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．　2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．　3.会用正态分布去解决实际问题．,　　　　　　　1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ

2、和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小　　　　　　　　　　　　　　　　　　　的特征数，可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ处达到峰值．(4)曲线与x轴之间的面积为1．(5)当σ一定

3、时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682__7；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954__5；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997__3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　)(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的

4、面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　)(3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝(　　)A．0　　　　　　　　　　B．σC．－μD．μ答案：D已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝(　　)A.B.C.D.答案：D已知正态分布密度函数为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．答案：0　探究点1　正态分布密度曲线　如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正

5、态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．【解】　从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20，＝，所以σ＝.于是φμ，σ(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．　　若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.求该正态分布的概率密度函数的解析

6、式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．探究点2　利用正态分布的性质求概率　设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．【解】　因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P

7、(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]≈(0.9545－0.6827)＝0.1359.[变问法]在本例条件下，试求P(X≥5)．解：因为P(X≥5)＝P(X≤－3)，所以P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)]＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]≈(1－0.9545)＝0.02275.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(μ－σ＜

8、X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解转化：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b＜μ，则P(X＜b)＝.　　1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P