2019-2020年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质函数奇偶性的概念课后训练新人教A版必修

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1、2019-2020年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质函数奇偶性的概念课后训练新人教A版必修千里之行始于足下1.对于定义域是R的任意奇函数f(x),都有(  ).A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)≤0D.f(x)·f(-x)>02.设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(  ).A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)

2、f(-x)

3、是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数3.若函数f(x)=(x+1)(x

4、-a)为偶函数,则a等于(  ).A.-2B.-1C.1D.24.奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必定经过点(  ).A.(a,f(-a))B.(-a,f(a))C.(-a,-f(a))D.5.已知函数f(x)=ax2+bx+c(-2a-3≤x≤1)是偶函数,则a=________,b=________.6.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是________.7.如图是偶函数f(x)的x≥0时的图象,请作出x<0时的图象.8.已知f(x)=(m2-1

5、)x2+(m-1)x+n+2,问m,n为何值时,f(x)为奇函数?百尺竿头更进一步 设a为实数,函数f(x)=x2+

6、x-a

7、+1,x∈R.(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值.答案与解析1.答案:C解析:对任意奇函数f(x),有f(-x)=-f(x).∴f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故选C.2.答案:D解析:用奇偶性定义判断.设g(x)=f(x)+f(-x),则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),∴f(x)+f(-x)是偶函数,∴选D.3.答案:C解析:利用定义求值

8、.∵f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,∴f(-x)=f(x).即(-x+1)(-x-a)=(x+1)(x-a),∴x·(a-1)=x·(1-a),故1-a=0,∴a=1,故选C.4.答案:C解析:∵y=f(x)是奇函数,∴f(-a)=-f(a).∴选C.5.答案:-1 0解析:∵f(x)是偶函数,∴其定义域关于原点对称,∴-2a-3=-1,∴a=-1.∴f(x)=-x2+bx+c.∵f(-x)=f(x),∴-(-x)2+b(-x)+c=-x2+bx+c.∴-b=b,∴b=0.6.答案:0解析:偶函数

9、y=f(x)的图象关于y轴对称,∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称.因此,若一根为x1,则它关于y轴对称的根为-x1;若一根为x2,则它关于y轴对称的根为-x2,故f(x)=0的四根之和为x1+(-x1)+x2+(-x2)=0.7.解:偶函数的图象关于y轴对称,由对称性可以作出函数f(x)的x<0时的图象,如图中y轴左边的部分.8.解:可以利用定义f(-x)去求m,n;也可以取特殊值求m,n.已知f(x)为定义在R上的奇函数,令x=0,得f(0)=n+2=0,得n=-2.取特殊值,令x=-1,x=1

10、,则f(-1)+f(1)=(m2-1+1-m)+(m2-1+m-1)=2(m2-1)=0,得m=±1.又由于m=1,n=-2时,f(x)=0,既为奇函数又为偶函数,舍去.所以,当m=-1,n=-2时,f(x)为奇函数.百尺竿头更进一步解:(1)当a=0时,f(-x)=(-x)2+

11、-x

12、+1=f(x).此时f(x)为偶函数;当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2

13、a

14、+1,∴f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)①当x≤a时,函数,若,

15、则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,∴函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1;若,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为,且.②当x≥a时,函数,若,则函数f(x)在[a,+∞)上最小值为,且;若,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,∴函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是f(a)=a2+1.综上,当时,函数f(x)的最小值是,当时,函数f(x)的最小值是a2+1,当时,函数f(x)的最小值是.

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