2019-2020年高中数学复习课（一）导数及其应用教学案新人教A版选修2-2

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1、2019-2020年高中数学复习课（一）导数及其应用教学案新人教A版选修2-2导数的概念及几何意义的应用(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．[典例]　(全国卷Ⅱ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1

2、,2)处的切线方程是________．[解析]　设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.[答案]　2x－y＝0[类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)曲线与直线相

3、切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．1．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)A．y＝2x＋1　　　　　　　　B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2解析：选A　∵y′＝＝，∴k＝y′

4、x＝－1＝＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.2．已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析：∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋，y′＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为

5、y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.法一：∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二：设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′＝2ax0＋(a＋2)．由解得答案：8导数与函数的单调性(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查

6、求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。(2)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.f′(x)＞0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递减．反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增⇒f′(x)≥0；函数f(x)在(a

7、，b)上单调递减⇒f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．[典例]　已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性并求出单调区间．[解]　f′(x)＝1－.(1)由导数的几何意义得f′(2)＝3，即1－＝3，∴a＝－8.由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，得f(2)＝3×2＋1＝7，则－2＋b＝7，解得b＝9，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9(

8、x≠0)．(2)当a≤0时，显然f′(x)＞0(x≠0)，这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝±.当x＜－或x＞时，f′(x)＞0；当－＜x＜0或0＜x＜时，f′(x)＜0.∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在(0，)，(－，0)上是减函数．[类题通法]求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．[提醒]　求函数单调区间

9、一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．1．设函数f′(x)＝x2＋3x－4，则y＝f(x＋1)的单调递减