2019-2020年高中数学 2.5 与圆有关的比例线段教案 新人教A版选修4-1

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1、2019-2020年高中数学2.5与圆有关的比例线段教案新人教A版选修4-1课标解读1.会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理.2.能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明.1.相交弦定理(1)文字语言圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.(2)图形语言如图2-5-1,弦AB与CD相交于P点,则PA·PB=PC·PD.图2-5-12.割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(2)图形语言图2-5-2如图2-5-2,⊙O的割线PAB与PCD,则有:PA·

2、PB=PC·PD.3.切割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.(2)图形语言如图2-5-3,⊙O的切线PA,切点为A,割线PBC,则有PA2=PB·PC.图2-5-34.切线长定理(1)文字叙述从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.(2)图形表示如图2-5-4,⊙O的切线PA、PB,则PA=PB,∠OPA=∠OPB.图2-5-41.能否用三角形相似证明相交弦定理?【提示】 能.如图,⊙O的弦AB、CD相交于P点,连接AD、BC

3、,则△APD∽△CPB.故有=,即PA·PB=PC·PD.2.垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系?【提示】 如图,PA,PB为⊙O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O的割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论:(1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO;(2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE;(3)若AC平分∠BAP,则C为△PAB的内心;(4)OA2=OC2=OE·OP=OD2;(5)=,=,PD⊥AB;(6)∠AOP=∠BOP,∠APD=∠BPD.3.应用切割线定理应注意什么?【

4、提示】 应用切割线定理应记清关系式,防止做题时出错.(1)如图所示,把PC2=PA·PB错写成PC2=PO·PB;(2)如图所示,把关系式PT2=PB·PA错写成PT2=PB·BA,把关系式PB·PA=PD·PC错写成PB·BA=PD·DC.相交弦定理图2-5-5 如图2-5-5,AC为⊙O的直径,弦BD⊥AC于点P,PC=2,PA=8,则tan∠ACD的值为________.【思路探究】 由垂径定理知,点P是BD的中点,先用相交弦定理求PD,再用射影定理或勾股定理求AD、CD,最后求tan∠ACD.【自主解答】 ∵BD⊥AC,∴

5、BP=PD,∴PD2=PA·PC=2×8=16,∴PD=4.连接AD,则∠ADC=90°,∴tan∠ACD=.又AD===4,CD===2,∴tan∠ACD==2.【答案】 21.解答本题的关键是先用相交弦定理求PD,再用勾股定理或射影定理求AD、CD.2.相交弦定理的运用往往与相似形联系密切,也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明.(xx·湖南高考)如图2-5-6,在半径为的⊙O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为________.图2-5-6【解析】 由相交弦定理得PA·

6、PB=PC·PD.又PA=PB=2,PD=1,则PC=4,∴CD=PC+PD=5.过O作CD的垂线OE交CD于E,则E为CD中点,∴OE===.【答案】 切割线定理图2-5-7 已知如图2-5-7所示,AD为⊙O的直径,AB为⊙O的切线,割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,若AB=2.求:(1)BC的长;(2)⊙O的半径r.【思路探究】 由AB2=BM·BN求得BC→由CD·AC=CN·CM求得CD→结果【自主解答】 (1)不妨设BM=MN=NC=x.根据切割线定理,得AB2=BM·BN,即22=x(x+x).解得x

7、=,∴BC=3x=3.(2)在Rt△ABC中,AC==,由割线定理,得CD·AC=CN·CM,由(1)可知,CN=,BC=3,CM=BC-BM=3-=2,AC=,∴CD==,∴r=(AC-CD)=(-)=.1.解答本题的关键是先根据切割线定理求BC.2.切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题,有时切割线定理利用方程进行计算、求值等.图2-5-8 (xx天津高考)如图2-5-8,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE

8、=4,则弦BD的长为________.【解析】 因为AB∥DC,所以四边形ABCD是等腰梯形,所以BC=AD=AB=5.又AE是切线,所以AE∥BD,AE2=BE·EC=4(4+5)=36,所以AE=6.因为∠CDB=∠BAE,∠BCD=∠ABE,

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