2019-2020年高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间中的平行关系（2）课堂探究 新人教B版必修2

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1、2019-2020年高中数学1.2点、线、面之间的位置关系1.2.2空间中的平行关系（2）课堂探究新人教B版必修2探究一平面与平面平行的判定定理平面与平面平行判定的四种常用证明方法：(1)(定义法)证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)(利用判定定理)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)(转化为线线平行)平面α内的两条相交直线与平面β内的两条直线分别平行，则α∥β．(4)(利用平行平面的传递性)若α∥β

2、，β∥γ，则α∥γ．【典型例题1】如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D．思路分析：由A1B∥平面AC1D⇒平面A1BC∩平面AC1D＝ED，A1B∥ED⇒D为BC中点⇒得出结论．证明：如图所示，连接A1C交AC1于点E，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点，连接ED，因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED．因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点．又因为D1是B1C1的中点

3、，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD．又A1D1∩BD1＝D1，AD∩C1D＝D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．探究二平面与平面平行的性质定理1．平面与平面平行的性质定理实际给出了判定两条直线平行的一种方法，应用时需要作(找)出第三个平面与已知的两个平行平面的交线，从而说明两交线平行．类似于线面平行的性质定理，是以平面为媒介证明线线平行的．该定理可以简单地概括为：面面平行⇒线线平行．2．两个平面平行除了具有上述性质外，还有以下结论，这些结论在证题中经常遇到．(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一

4、个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性)．【典型例题2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，求证：AC∥平面DB1E．证明：取B1B的中点F，连接EF，FC，FA，因为E，F为中点，所以EFBC，又因为BCAD，所以EFAD，所以四边形EFAD为平行四边形，所以AF∥DE，又因为E，F为中点，且C1CB1B，有CEB1F，所以四边

5、形CEB1F为平行四边形，所以B1E∥FC，因为B1E∩DE＝E，CF∩AF＝F，所以平面ACF∥平面DB1E，因为AC⊂平面ACF，所以AC∥平面DB1E．【典型例题3】如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．(1)求证：AC∥BD．(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以不妨设直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．又α∥β，所以AC∥BD．(2)由(1)得AC∥BD

6、，所以＝，所以＝，所以CD＝(cm)，所以PD＝PC＋CD＝(cm)．探究三探索型问题解探索型问题常用策略：(1)(条件探索型)所给问题结论明确，需要完备条件或条件需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．(2)(结论探索型)先探索结论再去证明，在探索过程中常先从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳进行猜测，得出结论，再就一般情况去证明结论．【典型例题4】如图所示，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，E，F分别为PC，PD的中点，在底面ABCD内是否存在点Q，使平面EFQ∥平面PAB？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由

7、．解：存在．点Q在底面ABCD的中位线GH上，理由如下：取AD，BC的中点G，H，连接FG，HE，GH．因为F，G分别为DP，DA的中点，所以FG∥PA．因为FG平面PAB，PA⊂平面PAB，所以FG∥平面PAB．因为AB∥CD，EF∥CD，EF∥AB，而EF平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．因为EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAB．又GH∥CD，所以GH∥EF．所以平面EFG即平面EFGH．所以平面EFGH∥平面PAB．又点Q∈平面ABCD，所以点Q∈(平面EFGH∩平面ABCD)．所以点Q∈GH．

8、所以点Q在底面ABCD的中位线GH上．