2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程优化练习 新人教A版选修1 -1

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1、2.1.1椭圆及其标准方程[课时作业][A组 基础巩固]1.椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,则M到另一个焦点F2的距离为(  )A.3B.6C.8D.以上都不对解析:由椭圆的定义知

2、MF1

3、+

4、MF2

5、=10,∴

6、MF2

7、=10-2=8,故选C.答案:C2.(2015·高考广东卷)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=(  )A.2B.3C.4D.9解析:由左焦点为F1(-4,0)知c=4,又a=5,∴25-m2=16,解得m=3或-3,又m>0,故m=3.答案:B3.椭圆+=1的左、右焦点为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A,

8、B两点,则△ABF2的周长为(  )A.32B.16C.8D.4解析:∵

9、AF1

10、+

11、AF2

12、=8,

13、BF1

14、+

15、BF2

16、=8.又∵

17、AF1

18、+

19、BF1

20、=

21、AB

22、,∴△ABF2的周长为

23、AB

24、+

25、AF2

26、+

27、BF2

28、=(

29、AF1

30、+

31、AF2

32、)+(

33、BF1

34、+

35、BF2

36、)=16.故选B.答案:B4.方程-=1所表示的曲线是(  )A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线解析:∵<2<,∴sin2>0,cos2<0且

37、sin2

38、>

39、cos2

40、,∴sin2+cos2>0,cos2-sin2<0且sin2-c

41、os2>sin2+cos2,故表示焦点在y轴上的椭圆.答案:B5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为(  )A.B.C.D.解析:由·=0,得MF1⊥MF2,可设

42、

43、=m,

44、

45、=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,∴S△F1MF2=·mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×

46、F1F2

47、×h=1,又

48、F1F2

49、=2,故h=,故选C.答案:C6.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,-2)且

50、a=2b,则椭圆的标准方程为________.解析:由c=2,a=2b,a2=b2+c2,∴3b2=12,b2=4,a2=16,∴标准方程为+=1.答案:+=17.已知椭圆的两焦点为F1(-2,0),F2(2,0),P为椭圆上的一点,且

51、F1F2

52、是

53、PF1

54、与

55、PF2

56、的等差中项.该椭圆的方程是________.解析:由题意知椭圆焦点在x轴上,c=2,

57、F1F2

58、=4,由于

59、F1F2

60、是

61、PF1

62、与

63、PF2

64、的等差中项,∴

65、PF1

66、+

67、PF2

68、=2

69、F1F2

70、=8,∴a=4,b2=a2-c2=42-22=12,故椭圆的方程为+=1.答案:+=18.若F1

71、,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠F1AF2=45°,则△AF1F2的面积为________.解析:如图所示,

72、F1F2

73、=2,

74、AF1

75、+

76、AF2

77、=6,由

78、AF1

79、+

80、AF2

81、=6,得

82、AF1

83、2+

84、AF2

85、2+2

86、AF1

87、

88、AF2

89、=36.又在△AF1F2中,

90、AF1

91、2+

92、AF2

93、2-

94、F1F2

95、2=2

96、AF1

97、

98、AF2

99、cos45°,∴36-2

100、AF1

101、

102、AF2

103、-8=

104、AF1

105、

106、AF2

107、,∴

108、AF1

109、

110、AF2

111、==14(2-).∴S△AF1F2=

112、AF1

113、

114、AF2

115、sin45°=×14(2-)×=7(-1).答案:7(-1)9.

116、已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆左、右焦点,若PF1⊥PF2,试求:(1)椭圆方程;(2)△PF1F2的面积.解析:(1)由PF1⊥PF2,可得

117、OP

118、=c,得c=5.设椭圆方程为+=1,代入P(3,4),得+=1,解得a2=45.∴椭圆方程为+=1.(2)S△PF1F2=

119、F1F2

120、

121、yP

122、=5×4=20.10.已知B,C是两个定点,

123、BC

124、=8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程.解析:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,如图所示.由

125、BC

126、=8,可知点

127、B(-4,0),C(4,0),c=4.由

128、AB

129、+

130、AC

131、+

132、BC

133、=18,

134、BC

135、=8,得

136、AB

137、+

138、AC

139、=10.因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,但点A不在x轴上.由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.所以点A的轨迹方程为+=1(y≠0).[B组 能力提升]1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是(  )A.m<2B.1

140、圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么

141、PF1

142、是

143、PF2

144、的(

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