2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程学案新人教A版选修1_120180912291

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1、2.1.1　椭圆及其标准方程学习目标：1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程、(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程、(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题、(难点)[自主预习·探新知]1、椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距、思考：(1)椭圆定义中将“大于

4、F1F2

5、”改为“等于

6、F1F2

7、”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于

8、F1F2

9、”改为“小

10、于

11、F1F2

12、”的常数,其他条件不变,动点的轨迹是什么？[提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于

13、F1F2

14、时,动点的轨迹不存在、2、椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0,－c)与(0,c)a,b,c的关系c2＝a2－b2[基础自测]1、思考辨析(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆、(　　)(2)到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆、(　　)(3)椭圆＋＝1的焦点在x轴上

15、、(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2、已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,到另一焦点距离为7,则m等于(　　)A、10B、5　　C、15　D、25D　[由题意知2a＝3＋7＝10,∴a＝5,∴m＝a2＝25.]3、椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,－8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为(　　)【导学号：97792051】A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1C　[由题意知c＝8,2a＝20,∴a＝10,∴b2＝a2－c2＝36,故椭圆的方程为＋＝1.][

16、合作探究·攻重难]求椭圆的标准方程　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(,－2)和点B(－2,1)、[解]　(1)由于椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)、∴a＝5,c＝4,∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)、∴a＝2,b＝1.故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)

17、法一：①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)、依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)、依题意有解得因为a＞b＞0,所以无解、所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0,n＞0,m≠n),依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.[规律方法]　1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a,b,c的等量关系；(4)求a,b的值,代入所设方程、2、当焦点位置不确定时,可设椭

18、圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n,m＞0,n＞0)、因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化了运算、[跟踪训练]1、已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点A(0,2)和B,求椭圆的标准方程、[解]　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n),将A,B两点坐标代入方程得解得∴所求椭圆方程为x2＋＝1.椭圆中的焦点三角形问题　(1)椭圆＋＝1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若

19、PF1

20、＝4,则∠F1PF2的大小为________、(2)已知椭圆＋＝

21、1中,点P是椭圆上一点,F1,F2是椭圆的焦点,且∠PF1F2＝120°,则△PF1F2的面积为________.【导学号：97792052】[思路探究]　(1)→→(2)[解析]　(1)由＋＝1,知a＝3,b＝,∴c＝.∴

22、PF2

23、＝2a－

24、PF1

25、＝2,∴cos∠F1PF2＝＝－,∴∠F1PF2＝120°.(2)由＋＝1,可知a＝2,b＝,所以c＝＝1,从而

26、F1F2

27、＝2c＝2.在△PF1F2中,由余弦定理得

28、PF2

29、2＝

30、PF1

31、2＋

32、F1F2

33、2－2

34、PF1

35、

36、F1F2

37、cos∠PF1F2,即

38、PF2

39、2＝

40、PF1

41、2

42、＋4＋2

43、PF1

44、　①.由椭圆定义得

45、PF1

46、＋

47、PF2

48、＝2a＝4　②.由①②联立可得

49、PF1

50、＝.所以S△PF1F2＝

51、PF1

52、

53、F1F2

54、sin∠PF1F2＝××2×＝.[答案]　(1)120°　(2)[规律方法]　1.椭圆的定义具有双向作用,即若

55、MF1