2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程讲义（含解析）新人教A版选修1 -1

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1、2．1.1　椭圆及其标准方程　　　　预习课本P32～36，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？　　　2．椭圆的标准方程是什么？　　1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[点睛]　定义中的条件2a>

4、F1F2

5、>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当2a＝

6、F1F2

7、时，其轨迹为线段F1F2；②当2a<

8、F1F2

9、时，其轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>

10、0)＋＝1(a>b>0)图　形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2[点睛]　椭圆的标准方程的特征(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆(　　)(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得

11、PQ

12、＝

13、PF2

14、，则动点Q的轨迹为圆(　　)(3)方程＋＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆(　　)答案：

15、(1)×　(2)√　(3)×2．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为(　　)A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．6答案：C3．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则

16、PF1

17、＋

18、PF2

19、等于(　　)A．4B．5C．8D．10答案：D4．若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________________．答案：＋＝1或＋＝1求椭圆的标准方程[典例]　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并

20、且椭圆经过点；(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝.[解]　(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义，知2a＝＋＝＋＝2，∴a＝.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(3)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.①又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，∴b2＝2，∴a2＝8.又∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＋＝1.确定椭圆的方程包括“定位”和

21、“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　　　　　　[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－)，；(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．解：(1)法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得则a2b>0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准

22、方程为＋＝1.法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.椭圆的定义及其应用[典例]　(1)已知椭圆的方程为＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且

23、F1F2

24、＝8，弦AB过点F1，则△AB

25、F2的周长为(　　)A．10　　　　　　　　　B．20C．2D．4(2)如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．[解析]　(1)∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．又c＝4，∴a2－25＝42，∴a＝.由椭圆的定义知△ABF2的周长＝

26、BA

27、＋

28、F2B

29、＋

30、F2A

31、＝

32、BF1

33、＋

34、BF2

35、＋

36、AF1

37、＋

38、AF2

39、＝4a＝4.(2)由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，

40、F