2019_2020学年高中数学第3章立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系学案新人教A版

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1、第1课时　空间向量与平行关系学习目标核心素养1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)2.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)1.通过平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养．2.借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提

2、示]　不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)有无数个，它们分别是共线向量．2．空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)1．若A(－1，0，1)，B(1，

3、4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)A．(1，2，3)　　　B．(1，3，2)C．(2，1，3)D．(3，2，1)A　[＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．]2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　　)A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．α∥β或α与β重合D　[∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．]3．已知＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为(　　)A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交但不垂直D．AB∥αD　[因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2

4、＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.]4．若直线l的方向向量a＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l与平面α的位置关系是________．l⊂α或l∥α　[∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α.]　求平面的法向量【例1】　如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量．[解]　以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别

5、为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，∴AD⊥平面SAB，∴＝是平面SAB的一个法向量．(3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以得方程组∴令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)．1．利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2

6、)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组．(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.1．正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一

7、个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．[解]　设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)．(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量．(2)＝(2，2，0)，＝(1，0，2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．∴∴∴令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量．　利用空间向量证明线线