2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 课时作业11 直线与双曲线的位置关系 新人教A版选修1-1

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1、2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线课时作业11直线与双曲线的位置关系新人教A版选修1-11．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为(　　)A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1解析：由已知点P(1,0)是双曲线的右顶点，故过点P(1,0)且与x轴垂直的直线与双曲线相切，它们只有一个公共点．另外过点P(1,0)且与其中一条渐近线平行的直线与双曲线相交，它们只有一个公共点．所以满足条件的直线l有三条．答案：B2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB

2、的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：∵kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则－＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.∴双曲线E的方程为－＝1.答案：B3．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有

3、唯一的交点，则直线l的斜率等于(　　)A．1B．－1C．±1D．±2解析：依题意，直线l与双曲线C的渐近线平行．又x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，∴直线l的斜率k＝±1.答案：C4．直线l：y＝k(x－)与曲线x2－y2＝1(x＞0)相交于A、B两点，则直线l的倾斜角是__________．解析：由得x2－k2(x－)2＝1，即(1－k2)x2＋2k2x－2k2－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知解得k2－1＞0，即k＞1或k＜－1，∴直线的倾斜角范围是∪.答案：∪5．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则

4、此直线的斜率的取值范围是________．解析：①当直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线有一个交点，此时直线斜率为±；②当直线与双曲线有两个交点，且在两支上时，由－＝1，得b2＝4，a2＝12，∴c＝4.设直线方程为y＝k(x－4)，由得(1－3k2)x2＋24k2x－48k2－12＝0，∴x1x2＝＜0，∴1－3k2＞0.∴－＜k＜.答案：(限时：30分钟)1．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1.(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围．解析：

5、把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1，整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0.(1)∵直线与双曲线有两个公共点，∴判别式Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2＞0，且3－a2≠0，得－＜a＜，且a≠±.故当－＜a＜，且a≠±时，直线与双曲线有两个公共点．(2)∵直线与双曲线只有一个公共点，∴或3－a2＝0，∴a＝±或a＝±.故当a＝±或a＝±时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)∵直线与双曲线没有公共点，∴3－a2≠0，且Δ＝24－4a2＜0.∴a＞或a＜－.故当a＞或a＜－时，直线与双曲线没有公共点．2．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，

6、且点P是线段AB的中点，求直线AB的方程．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵(8,1)是弦AB的中点，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.把A，B两点坐标代入x2－4y2＝4，得x－4y＝4，①x－4y＝4，②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝＝＝2，即直线AB的斜率为2.∴所求的直线方程为y－1＝2(x－8)，即2x－y－15＝0.经验证该直线符合题意．3．设双曲线C：－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)直线l与y轴交于点P，且＝，求a的值

7、．解析：(1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解．消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①∴解得0＜a＜且a≠1.双曲线的离心率e＝＝.∵0＜a＜且a≠1，∴e＞且e≠，即离心率e的取值范围为∪(，＋∞)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．由此得x1＝x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，∴x2＝－，x＝－，消去x2，得－＝.由a＞0，∴a＝.4．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4