18单自由度系统的振动

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1、第十八章单自由度系统的振动1动力学振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。利：振动给料机弊：磨损，减少寿命，影响强度振动筛引起噪声，影响劳动条件振动沉拔桩机等消耗能量，降低精度等。3.研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。2.振动的利弊：1.振动-----系统在平衡位置附近作往复运动。2动力学4.振动的分类：单自由度系统的振动按振动系统的自由度分类多自由度系统的振动弹性体的振动按振动产生的原因分类：

2、自由振动：无阻尼的自由振动有阻尼的自由振动（衰减振动）强迫振动：无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动自激振动3动力学实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力学模型。质量—弹簧系统振体4动力学运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为恢复力5动力学§12-1单自由度系统无阻尼自由振动一、振动的微分方程：只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下的振动称为无阻尼自由振动图示质量——弹簧系统，以平衡位置为坐标原点，则6动力学这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的微分方程

3、。对于其他类型，同理可得。如单摆：7动力学复摆：对于任何一个单自由度系统，以q为广义坐标（从平衡位置开始量取），则自由振动的微分方程的标准形式：解为：8动力学设t=0时，代入上两式得：或：C1，C2由初始条件决定为9动力学ωn——圆频率，振体在2秒内振动的次数。ωn=2πfωn、f都称为系统的固有频率或自然频率A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅nt+——相位，决定振体在某瞬时t的位置——初相位，决定振体运动的起始位置T——周期，每振动一次所经历的时间f——频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ，f=1/T1

4、0动力学无阻尼自由振动的特点：(2)振幅A和初相位取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1)振动规律为简谐振动；(3)周期T和固有频率ωn仅决定于系统本身的固有参数(m,k,J)。四、其它1.如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。11动力学2.弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度并联串联并联串联12动力学二、求系统固有频率的方法——弹簧在全部重力作用下的静变形对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有：于是：无阻尼自由振动系统为

5、保守系统，机械能守恒。当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。13动力学当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。如：由Tmax=Vmax求wn的方法称为能量法。141.振动微分方程的标准形式2.静变形法：3.能量法：动力学综上所述，求系统固有频率的方法有：：集中质量在全部重力作用下的静变形由Tmax=Vmax,求出能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。15动力学例1图示系统。设轮子无侧

6、向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量m，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。16动力学解：以x为广义坐标，静平衡位置为坐标原点。在任意位置x时：静平衡时：17动力学应用动量矩定理x：由，有振动微分方程：固有频率：18动力学解2：用机械能守恒定律以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x因平衡时19动力学由T+V=有：对时间t求导，再消去，得20动力学例2鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚

7、不滑，大轮半径R，小轮半径r，弹簧刚度，重物E质量为m,不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：21动力学以平衡位置为重力及弹性势能零位置，则：22动力学设则有根据Tmax=Vmax,解得23动力学§12-2单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念：阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，介质粘性引起的阻尼力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。投影式：μ——粘性阻尼系数，简称阻尼

8、系数。自由振动是简谐运动，振幅不随时间而变。但实际中振动的振幅几乎都是随时间逐渐减小的（也称为衰减振动），这是因为有阻尼。24动力学二、振动微分方程及其解：质量—弹簧系统存在粘性阻尼：有阻尼自由振动微分方程的标准形式。25动力学其通解分三种情况讨论：1、小阻尼情形—有阻尼自由振动的圆频率26动力学衰减振动的特点：(1)振动周期变大