单自由度系统的自由振动

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1、单自由度系统的自由振动主要内容引言无阻尼系统的自由振动瑞利能量法粘性阻尼系统的自由振动（重点）库仑阻尼系统的自由振动滞后阻尼系统的自由振动风力发电机自由振动实例分析引言如果一个系统只在初始时受到外界扰动，此后并不受到其他力的作用而发生的振动，称为自由振动；弹簧-质量系统是最简单的振动系统。由于用一个坐标x就可以表示质量块在任意时刻的位置，因此，该系统被称为单自由度系统。单自由度振动系统风力发电机中的塔筒无阻尼平动系统的自由振动根据牛顿第二定律建立系统的运动微分方程达朗贝尔原理:外力与惯性力平衡无阻尼平动系统的自由振动虚位移原理弹簧力所做的虚功惯性力所做的虚功虚功

2、之和无阻尼平动系统的自由振动能量守恒原理铅垂方向上弹簧-质量系统的运动微分方程当质量块在竖直方向上运动时，如果以静平衡位置为坐标原点，在列质量块的运动微分方程时就不用考虑重力。铅垂方向上弹簧-质量系统的运动微分方程当弹簧有变形x时，其势能的增量为由于质量块下降了x，重力势能的减少为mgx静平衡位置为零势能点。则系统的最终势能为动能和势能表达式相同，则运动微分方程相同运动微分方程的解系统运动的运动微分方程为方程的解可以假设为其中C和s为待定常数，则有如果已知初始条件方程的解运动微分方程的解周期频率振动系统质量越大，弹簧刚度越小，则系统固有频率越低，周期越长。反之结

3、论亦成立。在连续系统中，刚度、质量体现在材料方面。运动微分方程的解单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，统称为谐波函数表示，故称为简谐振动，这种系统又被称为谐振子。自由振动的角频率即系统的自然频率，仅由系统本身的参数所确定，而与外界激励、初始条件等均无关。这说明自由振动显示了系统内在的特性。无阻尼自由振动的周期即线性系统自由振动的周期也仅由其本身的参数决定，而与初始条件及振幅的大小无关。这种现象称为谐振子振动的“等时性”。自由振动的幅值和初相角由初始条件所确定。单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动，这意味着系统一旦受到初始激励就将按振幅始终振动下去，

4、这显然是一种理想情况。思考与练习无阻尼扭转系统的自由振动如果刚体绕着某一特定的参考轴摆动时，对应着弹性元件的扭转变形，则将这种运动称为扭振。此时，刚体的位移要用角坐标描述。运动微分方程无阻尼扭转系统的自由振动扭转系统的固有角频率为周期和频率分别为无阻尼扭转系统的自由振动常见的扭转系统包括：汽轮机、水轮机……例任何悬挂于不经过质心的旋转轴的刚体在其自身重力作用下都会绕旋转轴摆动，这样的物理系统称为复摆。求复摆微幅摆动的固有频率。复摆可以使锤的撞击中心位于锤头，而旋转中心在手柄上。此时作用于锤头的冲击力不会在手柄上引起任何反向作用力。打棒球时，如果能使球棒的撞击中心

5、与求接触，而手可看作是球棒的旋转中心，那么击球手将不会收到球棒垂直方向上的反作用力。另一方面，如果击球的部位靠近近端或手握的部位，击球手就会由于受到球棒垂直方向上的反作用力而感到疼痛。复摆在材料的冲击实验中，要在试件上开一个合适的槽口，并固定在机械的底座上，从一个标准高度处释放冲击摆，当其通过最低位置时，撞击试样的自由端。如果摆的撞击中心在冲击刃口的附件，就可以减小摆的弯曲变形。此时，摆的悬挂点不会受到任何冲击反作用力。当汽车前轮受到一个冲击而产生颠簸时，如果它的撞击中心在后轴附近，乘员就基本上不会感觉到。所以设计时希望车身的振动中心在某一个轴上时，撞击中心要在

6、另一个轴上。瑞利能量法对于单自由度系统，可以利用能量方法得到其运动微分方程。对无阻尼的振动系统而言，能量守恒定律也可以这样表示例讨论图示弹簧-质量系统中弹簧质量对固有频率的影响。微段动能为系统总动能为系统总势能为假设系统的自由振动是简谐的，即说明：速度为线性分布！例动能和势能的最大值分别为思考与练习讨论水塔塔身的质量对水塔横向振动固有频率的影响。粘性阻尼平动系统的自由振动运动微分方程为假设解的形式为特征方程特征方程的根为方程通解为粘性阻尼平动系统的自由振动欠阻尼情形运用欧拉公式阻尼振动的频率小阻尼粘性阻尼平动系统的自由振动临界阻尼情形过阻尼情形粘性阻尼平动系统的

7、自由振动欠阻尼情形欠阻尼是唯一一种能够引起振动的情形。（重点掌握）思考与练习应用matlab或excel软件绘制自由振动曲线已知思考与练习part1对照公式part2part3思考与练习粘性阻尼平动系统的自由振动临界阻尼情形过阻尼情形粘性阻尼平动系统的自由振动特征根随阻尼系数或阻尼比的变化规律可在复平面中讨论。粘性阻尼平动系统的自由振动临界阻尼系数是使系统作非周期运动的最小阻尼。因此，质量块将以最短的时间回到静止平衡位置。在许多实际应用中都利用了临界阻尼的这一性质。例如大型火炮的枪膛具有临界阻尼，这样火炮受反冲力后，会以最短的时间回到初始位置而不致引起振动。如果

8、枪膛的阻尼大于临界阻尼，