2019-2020年高中数学 3-1-2 空间向量的数乘运算 活页规范训练 新人教A版选修2-1

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1、2019-2020年高中数学3-1-2空间向量的数乘运算活页规范训练新人教A版选修2-11．给出的下列几个命题：①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为(　　)．A．0B．1C．2D．3解析　①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b＝0，则有无数多个λ使之成立．答案　B2．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)．A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直

2、线AB上，也可能不在直线AB上D.与的方向一定相同解析　已知m＋n＝1，则m＝1－n，＝(1－n)＋n＝－n＋n⇒－＝n(－)⇒＝n.因为≠0，所以和共线，即点A，P，B共线，故选A.答案　A3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为(　　)．A．1B．0C．3D.解析　∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，x＝，故选D.答案　D4．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是____

3、____．解析　根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确．答案　②④5．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝______．解析　＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得＝λ，∴＝.∴k＝－8.答案　－86．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？解　取AC中点为G.连接EG，FG，∴＝，＝，又∵，，共面，∴＝＋＝＋＝(＋)，∴与＋共线．7．对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，则x＋y＋

4、z＝1是P，A，B，C四点共面的(　　)．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析　若x＋y＋z＝1，则＝(1－y－z)＋y＋z，即＝y＋z，由共面定理可知向量，，共面，所以P，A，B，C四点共面；反之，若P，A，B，C四点共面，当O与四个点中的一个(比如A点)重合时，＝0，x可取任意值，不一定有x＋y＋z＝1，故选B.答案　B8．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)．A．2－B．－＋2C.－D．－＋解析　由已知得2(－)＋(－)＝0，∴＝2－.答案　A9．如图所示，在四面体O—ABC中，＝

5、a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______(用a，b，c表示)．解析　＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋×(＋)＝a＋b＋c.答案　a＋b＋c10．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．解析　∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使＝k，即－＝k(－)，∴(k－1)＋－k＝0，又λ＋m＋n＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.答案　011．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量、、是共面向量

6、．证明　法一　＝＋＋＝－＋＝(＋)－＝－.由向量共面的充要条件知，、、是共面向量．法二　连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，则有FG綉DD1，BE綉DD1，∴FG綉BE.∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，∴、、都与平面A1BD平行．∴、、共面．12．(创新拓展)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)证明E，F，G，H四点共面；(2)证明BD∥平面EFGH.证明　如图，连结EG，BG.(1)∵＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件

7、知：E，F，G，H四点共面．(2)法一　∵＝－＝－＝，∴EH∥BD.又EH⊂面EFGH，BD⊄面EFGH，∴BD∥面EFGH.法二　∵＝＋＝2＋2＝2＝2(＋)＝2＋2，又，不共线，∴与，共面．又BD⊄面EFGH，∴BD∥面EFGH.