2019-2020年高中数学 3-2-5第5课时 利用向量知识求距离同步检测 新人教A版选修2-1

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1、2019-2020年高中数学3-2-5第5课时利用向量知识求距离同步检测新人教A版选修2-1一、选择题1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.[答案]　B[解析]　以、、为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，＝＝，平面ABC1D1的法向量＝(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离d＝＝＝.2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离

2、是(　　)A．5　　　　　　　B.C.　　　　　　D．8[答案]　C[解析]　解法一：∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．过点B1作B1E⊥A1B于E点．∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝，因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离为.解法二：以D为原点，、、的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则C(

3、0,12,0)，D1(0,0,5)，设B(x,12,0)，B1(x,12,5)　(x≠0)设平面A1BCD1的法向量n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥得n·＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，∴a＝0，n·＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，∴b＝c，∴可取n＝(0,5,12)，＝(0,0，－5)，∴B1到平面A1BCD1的距离d＝＝.3．将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD间的距离为(　　)A.a　　　B.a　　　C.a　　　D.a[答案]　C[解析]

4、　折起后如图，取BD中点M，则AM⊥BD，CM⊥BD，取AC中点N，则BN⊥AC，DN⊥AC故AC⊥平面BDN，BD⊥平面AMC.连结MN则MN⊥AC且MN⊥BD，∴MN即为AC与BD间的距离，可求得MN＝a.4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.[答案]　D[解析]　以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)．设平面A

5、B1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则，∴，令z＝－1，则n＝(1,1，－1)，显然n·＝0，n·＝0，∴n也是平面BDC1的法向量，∴平面AB1D1∥平面BDC1，∴其距离为d＝＝.5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则

6、MN

7、的长为(　　)A.aB.aC.aD.a[答案]　A[解析]　设＝a，＝b，＝c，则

8、a

9、＝

10、b

11、＝

12、c

13、＝a，a·b＝b·c＝c·a＝0，由条件知，＝－＝(＋)－＝(＋＋)－(＋＋)＝(2a－c)－(－c＋a＋b)＝a－b－c，

14、

15、2＝2＝(2a－b－c)

16、2＝(4

17、a

18、2＋

19、b

20、2＋

21、c

22、2－4a·b－2a·c＋b·c)＝，∴

23、

24、＝a.6．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于(　　)A.　　　B.　　　C．2　　　D.[答案]　C[解析]　如图．∵二面角α－l－β等于120°，∴与夹角为60°.由题设知，⊥，⊥，

25、

26、＝

27、

28、＝

29、

30、＝1，

31、

32、2＝

33、＋＋

34、2＝

35、

36、2＋

37、

38、2＋

39、

40、2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×cos60°＝4，∴

41、

42、＝2.7．△ABC中，∠C＝90°，点P在△ABC所在平

43、面外，PC＝17，点P到AC、BC的距离PE＝PF＝13，则点P到平面ABC的距离等于(　　)A．7B．8C．9D．10[答案]　A[解析]　解决本题的关键在于找点P在平面ABC内的射影．易知点P在平面ABC内的射影在∠C的角平分线上．8．已知夹在两平行平面α、β内的两条斜线段AB＝8cm，CD＝12cm，AB和CD在α内的射影的比为35，则α、β间的距离为(　　)A.cmB.cmC.cmD.cm[答案]　C[解析]　设α、β间距离为d，AB、CD在α内的射影长分别为3x,5x，由解得d＝.二、填空题9．矩形ABCD中，∠BCA＝

44、30°，AC＝20，PA⊥平面ABCD，且PA＝5，则P到BC的距离为________．[答案]　5[解析]　由已知得AB＝20sin30°＝10，又PA＝5，∴PB＝＝5.10．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点