2012-2013高中数学 3-2-4利用向量知识求空间中的角同步检测 新人教b版选修2-1

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1、3.2第4课时利用向量知识求空间中的角一、选择题1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　)A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°[答案]　C[解析]　l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角)，∵cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝60°.2．(08·全国Ⅱ)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为(　　)A.　　　B.　　　C．－　　　D.[答案]　C[解析]　如图

2、，设棱长为1，∵＝(＋)＝(＋－)，∴

3、

4、＝＝，∴cos〈，〉＝＝＝＝－，故选C.3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为(　　)A.　　B.C.　　D.[答案]　D[解析]　解法一：∵＝＋，＝＋，∴·＝(＋)·(＋)＝·＝.而

5、

6、＝＝＝＝.同理，

7、

8、＝.如令α为所求角，则cosα＝＝＝.应选D.解法二：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,

9、1，)，∴＝－(1,0,0)＝(0，，1)，＝(1,1，)－(0,1,0)＝(1,0，)．故·＝0×1＋×0＋1×＝，

10、

11、＝＝，

12、

13、＝＝.∴cosα＝＝＝.4．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为(　　)A．(0°，90°)B．90°C．120°D．(60°，120°)[答案]　C[解析]　＝(＋)，＝(＋)，∴·＝(·＋·＋·＋·)＝－

14、

15、2.又

16、

17、＝

18、

19、＝

20、

21、，∴cos〈，〉＝＝－.∴∠EOF＝120°，故选C.5．把正方形ABCD沿对角线AC折

22、起，当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为(　　)A．90°　　　B．60°　　　C．45°　　　D．30°[答案]　C[解析]　翻折后A、B、C、D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC⊥平面BAC，设未折前正方形的对角线交点为O，则∠DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45°.6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于(　　)A.　　B.　　C.　　D.[答案]　D[解析]　解法一：过F作BD的平

23、行线交AC于M，则∠MGF即为所求．设正方体棱长为1，MF＝，GF＝，∴sin∠MGF＝.解法二：分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)，∵F(，0,0)，G(1,1，)，∴＝，设直线FG与平面A1ACC1所成角θ，则sinθ＝

24、cos〈n，〉

25、＝＝＝.7．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B—PA—C的余弦值是(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.[答案]　B[解析]　在射线PA上取一点O，分别在

26、面PAB，PAC内作OE⊥PA，OF⊥PA交PB，PB于EF，连接E、F，则∠EOF即为所求二面角的平面角．在△EOF中可求得cos∠EOF＝.8．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，这时二面角B—AD—C的大小为(　　)A．30°　　　　B．45°　　　　C．60°　　　　D．90°[答案]　C二、填空题9．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．[答案]　[解析]　解法一：取

27、AC、A1C1的中点M、M1，连结MM1、BM.过D作DN∥BM，则容易证明DN⊥平面AA1C1C.连结AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DAN中，sin∠DAN＝＝＝.解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BM＝AB＝，∴A，B，D，∴＝，又平面AA1C1C的法向量为e＝(0,1,0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则sinθ＝

28、cos〈，e〉

29、＝＝.解法三：设＝a，＝b，＝c，由

30、条件知a·b＝，a·c＝0，b·c＝0，又＝－＝c－b，平面AA1C1C的法向量＝(a＋b)．设直线BD与平面AA1C1C成角为θ，则sinθ＝

31、cos〈，〉

32、＝，∵·＝(c－b)·(a＋b)＝a·c－a·b＋b·c－

33、b

34、2＝－.

35、

36、2＝(c－b