函数型不等式的解法

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1、函数型不等式的解法在数学学习中“等”与“不等”是建立各种量之间关系的桥梁，在函数中，常常利用函数的性质（单调性）来解不等式。下面举例从三个角度进行简单的分析。一．直接法xyO例1.[2014年I15]设函数f(x)=ex-1,x<1x13,x≥1;则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是______.解析：由x<1ex-1≤2或x≥1x13≤2解得x≤8。所以使得f(x)≤2成立的x的取值范围是(-∞,8].你能否作出f(x)的图象，观察图象得出f(x)≤2的解集了？由图象可知f(x)是R上的增函数，有f(8)=2,所以使得f(x)≤2成立的x的取值范围是(

2、-∞,8]点评：在解不等式的过程中，应用到了基本初等函数y=ex与y=x13的单调性,说明解决函数类不等式问题一般都需要研究函数的单调性。二．图像与性质法例2．(1)(2018全国卷Ⅰ)设函数，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．(2)[2015年Ⅱ12]设函数f(x)=ln(1+

3、x

4、)-11+x2，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是()xyOA．(13,1)B．(-∞,13)∪(1,+∞)　　C．(-13,13)D．(-∞,-13)∪(13,+∞)解析：（1）由基本初等图象与性质可知f(x)在（-∞,0]上递减，在（0，+∞）恒为1

5、.所以f(x+1)2x2x<0,解得x<0（2）因为f(-x)=ln(1+

6、x

7、)-11+x2=f(x),所以f(x)是偶函数，又y=ln(1+

8、x

9、)与y=-11+x2都在[0，+∞)上递增。所以f(x)>f(2x-1)等价于

10、x

11、>

12、2x-1

13、,解得13

14、gax，则a的取值范围是___分析：a>1时，4x>logax恒成立，不符合题意，所以0

15、+1>1解得-141解得012时，x-12>0,原不等式等价于x>122x+2x-12>1解得x>12所以的解集为（-14，+∞）点评：对上面解法分析，第(2)(3)两种情况的解集就是讨论的范围，说明(2)(3)两种情况下原不等式是恒成立的。我们也可以结合f(x)的图象对不等式进行分析求解。结合图形可知x>0时不等式成立，x≤0时，有x+1+x-12+1>1，解得-14

16、∞）通过以上几题的分析研究，我们在研究函数类不等式的时候一定要作出函数的图象，并研究函数的基本性质（单调性，奇偶性，周期性等）。利用图象与性质去解决函数不等式问题巩固反馈1.[2013年Ⅱ12]若存在正数x使2x(x-a)＜1成立，则a的取值范围是_____2.[2013年Ⅰ12]已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0lnx+1,x>0,若

17、f(x)

18、≥ax，则a的取值范围是___3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是_____