2019年春八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 19.1.1 矩形的性质练习 （新版）华东师大版

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课时作业(三十)[19.1　1.矩形的性质]一、选择题1．如图K－30－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(　　)A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD图K－30－1　　　图K－30－22．xx·兰州如图K－30－2，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC的长为(　　)A．5B．4C．3.5D．33．如图K－30－3，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长分别为(　　)A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4图K－30－3　　　图K－30－44．xx·内江如图K－30－4，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F.已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为(　　)A．31°B．28°C．62°D．56°图K－30－55．xx·淮安如图K－30－5，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处．若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是(　　)A．3B．6C．4D．5二、填空题6．如图K－30－6，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，折痕为BE，BF，则∠EBF的度数为________．图K－30－6　　　图K－30－77．折叠矩形纸片ABCD，使它的顶点D落在BC边上的F处，如图K－30－7所示．如果AB＝6，AD＝10，那么CE的长为________．8．如图K－30－8，已知O为矩形ABCD对角线的交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交 BC于点F，∠BDF＝15°，则∠COF＝________°.图K－30－8　　　　　图K－30－99．如图K－30－9，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连结DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝________．三、解答题10．如图K－30－10所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1cm，求矩形对角线的长和矩形的面积．图K－30－1011.xx·连云港如图K－30－11，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连结AC，DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD之间的数量关系，并说明理由．图K－30－1112．如图K－30－12，在矩形ABCD中，将△ADE沿AE折叠，点D刚好落在对角线AC上的点F处．(1)若AB＝8，BC＝6，求DE的长；(2)若AE＝EC，求证：AC＝2BC.图K－30－12 13．xx·百色如图K－30－13，矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交DB于点G，H.求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；(2)EG＝FH.图K－30－13猜想探究(1)如图K－30－14①，经历矩形性质的探索过程，你可以发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则CD＝AB，你能用矩形的性质说明这个结论吗？(2)利用上述结论解答下列问题：如图②所示，四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．(提示：连结AE，CE)图K－30－14 详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]D　根据矩形的性质，可得∠ABC＝90°，AC＝BD.又因为矩形是特殊的平行四边形，对角线互相平分，所以OA＝OB；而根据矩形的性质不能得到OA＝AD.故选D.2．[答案]B3．[答案]B4．[解析]D　∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°.∵∠BDC＝62°，∴∠ADB＝90°－62°＝28°.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.根据折叠的性质可知∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD＝28°，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56°.故选D.5．[解析]B　因为四边形ABCD是矩形，所以∠B＝90°，AD∥BC，于是∠DAC＝∠ECA.又∵∠EAC＝∠ECA，∴AE＝EC.由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，AF＝AB＝3，∴AC＝2AF＝2×3＝6.6．[答案]45°[解析]由翻折的性质知，∠CBF＝∠FBD，∠ABE＝∠EBD，所以∠EBF＝∠ABC＝×90°＝45°.7．[答案][解析]由翻折的性质知，AD＝AF＝10，DE＝EF.在Rt△ABF中运用勾股定理，得BF＝＝＝8，所以FC＝2.设CE＝x，则EF＝6－x.在Rt△CEF中，由勾股定理，得(6－x)2＝x2＋22，解得x＝.8．[答案]75[解析]由∠ADC＝90°，DF平分∠ADC，得∠CDF＝45°，则∠ODC＝60°，△DCO为等边三角形．又∵△DCF为等腰直角三角形，∴CO＝CD＝CF，∴△OCF为等腰三角形，∠OCF＝30°，故∠COF＝75°.9．[答案][解析]∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，AD∥BC.在Rt△ACD中，AC＝＝＝5.∵AQ＝AD，AD＝3，∴CQ＝AC－AQ＝2.∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠QPC.∵AQ＝AD，∴∠ADQ＝∠AQD.∵∠PQC＝∠AQD，∴∠PQC＝∠QPC，∴PC＝CQ＝2，∴BP＝BC－PC＝3－2＝1.在Rt△ABP中，AP＝＝＝. 10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO.∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝AB＝1cm，∴AC＝2AO＝2cm，即AC＝BD＝2cm.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1cm，AC＝2cm，由勾股定理得BC＝cm，∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝1×＝(cm2)．11．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴FA＝CD.又∵CD∥FA，∴四边形ACDF是平行四边形．(2)BC＝2CD.理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠CDE＝90°.∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.又∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE.∵E是AD的中点，∴AD＝2DE＝2CD.∵AD＝BC，∴BC＝2CD.12．解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.在Rt△ABC中，∵AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10.由题意知AF＝AD＝6，DE＝EF，∠AFE＝∠ADC＝90°.设DE＝x，则EF＝x，CE＝8－x，CF＝10－6＝4，∴(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，即DE的长为3.(2)证明：∵AE＝EC，∠AFE＝90°，∴AF＝FC，即AC＝2AF.∵AF＝AD，AD＝BC，∴AF＝BC，∴AC＝2BC.13．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．(2)∵四边形AFCE是平行四边形，∴EC∥AF，∴∠FHB＝∠CGH.又∵∠CGH＝∠EGD，∴∠EGD＝∠FHB.∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.∵E，F分别是AD，BC的中点，AD＝BC， ∴DE＝BF，∴△DEG≌△BFH，∴EG＝FH.[素养提升][解析](1)分别过点B，A作BE∥AC，AE∥BC，BE，AE相交于点E，构造成矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等证明即可；(2)连结AE，CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝CE＝BD，再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证明．解：(1)如图①，分别过点B，A作BE∥AC，AE∥BC，BE，AE相交于点E，则四边形AEBC是矩形．∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴延长CD必过点E.∵AB＝CE，∴CD＝DE＝AD＝BD，∴CD＝AB.(2)EF⊥AC.理由如下：如图②，连结AE，CE.∵∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E是BD的中点，∴AE＝CE＝BD.又∵F是AC的中点，∴EF⊥AC(等腰三角形“三线合一”)．