§17-2波函数及其物理意义

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1、§17-2波函数及其统计意义1925年，薛定谔首先在德布罗意假设的基础上提出，用物质波的波函数来描述微观粒子运动状态,就像用电磁波描述光子的运动一样。一、波函数用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。机械波将公式写成复数形式利用关系自由粒子一维运动时的平面波波函数当波沿任意方向传播时经典粒子:不被分割的整体，有确定位置和运动轨道；经典的波:某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波具有相干叠加性.微观粒子的波粒二象性:要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上.二、波函数的物理意义描述微观

2、粒子运动状态的波函数是时间和空间的函数，那么，波函数与粒子之间究竟有什么关系呢？（1）微观粒子的波动性不同于经典波如何来认识物质波呢?按经典波的观点,电子波在介质分界面上发生反射和折射，电子将被分裂为反射部分和折射部分，也就是说，从两个方向观察到的只是电子的一部分。但实验中观察到的总是一个个具有一定质量和电荷的电子，从来没有观察到几分之一个电子。结论:物质波与经典波是完全不同的.先分别关闭上,下两缝，子弹分别通过上、下缝到达屏上，观察子弹密度分布曲线P1、P2.将P1与P2叠加，得到曲线P1＋P2.再同时打开两个缝，发射两倍数目的子

3、弹，最后得到的子弹密度分布曲线P3。结果显示为“非相干叠加”.（2）微观粒子不同于经典粒子机枪打靶电子衍射(3)微观粒子的波粒二象性电子双缝干涉实验实验装置等效于菲涅尔双棱镜当入射强电子流时,单位时间许多电子通过双缝，底片上很快出现衍射图样.电子双缝干射实验现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝．7个电子100个电子20000个电子70000个电子屏上的一个亮点代表一个电子．当入射弱电子流时,电子几乎一个一个地通过双缝.每通过一个电子,底片上出现一个点,开始时点呈现无规分布，随着电子数目增多，逐渐形成衍射图样.一个电子重复许多次相同

4、实验表现出的统计结果.结论:电子的行为既不等同于经典粒子(没有确定的位置和运动轨道)，也不等同于经典波动(并非某实际的物理量在空间做周期性的变化)，它兼有粒子(不可分割的整体)和波动性(相干叠加)的某些特征，这就是波粒二象性.玻恩对电子衍射的解释一个电子通过一个缝后到底落在屏上哪一点呢？玻恩说：不能肯定，落在哪一点都有可能；但是由于屏上各处明暗不同，所以落在各处的概率也不同，落在哪一点有一定的概率分布，这一概率分布由屏上各点波的强度分布来决定。观察屏上发现粒子的概率与成正比.电子在屏上出现概率密度大的地方,出现干涉图样中的“亮条纹”

5、；概率密度为零的地方,没有电子到达，显示“暗条纹”。玻恩给出了空间一很小区域(体积元dV=dxdydz)内粒子出现概率的计算方法。其中是的复数共轭。三、玻恩的波函数统计解释(1926年)在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概率与该时刻、该地点波函数的平方成正比.称为概率密度.粒子在dV体积元内出现的概率宏观物体服从牛顿的决定论，如可以精确给出火星的位置,运动轨道；描述微观粒子的波粒二象性的是概率波，按照概率波的观点，微观粒子在运动过程中究竟会出现在何处,只能由概率大小来判断.在核外空间各处寻找电子的概率各不相同；即有一定的概率分布

6、，人们用“电子云”来形象地描绘这种概率分布的空间图形。氢原子核外电子的运动不能使用玻尔的轨道运动了，只能说电子在原子核外的某些地方比较容易找到，在某些地方几乎找不到。则在空间各点发现自由粒子的概率相等应该强调，对于概率分布来说，重要的是相对概率分布．如果C是常数(可以是复数)，则和所描述的相对概率分布是完全相同的。自由粒子平面波波函数四、波函数的归一化条件称为波函数的归一化条件.在整个空间粒子出现的概率总和为1,要求描述粒子的波函数应该是:有限,单值,连续,称为波函数的标准条件.试求：（1）常数A；例作一微运动的粒子被束缚在0

7、a的范围内。已知其波函数为解:（1）由归一化条件得:粒子的概率密度为:（2）求粒子在0到a/2区域出现的概率；在0