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时间:2019-11-09
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1、2019-2020年高三上学期期中模拟(一)数学试卷含答案一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分。请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上)1.设全集为,集合,集合,则(∁)=▲2.若(其中表示复数的共轭复数),则复数的模为▲3.函数的定义域为▲4.已知向量,,,若,则实数▲5.数列{}的前n项和为,且,则{}的通项公式=▲6.已知的零点在区间上,则的值为▲7.已知为非零向量,且夹角为,若向量,则▲8.函数的单调增区间为▲9.设是定义在上周期为4的奇函数,若在区间,,则▲10.己知是定义在R上的奇函
2、数.,且当x0时,,则此函数的值域为▲11.设函数的图像与轴交于点,过点的直线与函数的图像交于另外两点.是坐标原点,则=▲12.若函数定义在上的奇函数,且在上是增函数,又,则不等式的解集为▲13.已知函数,若在区间上有且只有1个零点,则实数的取值范围是▲。14.图为函数的图象,其在点M(t,f(t))处的切线为l,切线l与Y轴和直线y=1分别交于点P,Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个,则b的取值范围为▲。二、解答题:本大题共6小题,计90分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答
3、案写在答题纸的指定区域内。15.(本小题满分14分)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。已知a=1,b=2,cosC=。(1)求△ABC的周长;(2)求cos(A-C)的值。16.(本小题满分14分)已知函数为定义在上的奇函数,且当时,.(1)求的解析式;(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.17.(本小题满分14分)已知{an}为等比数列,其中a1=1,且a2,a3+a5,a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(2n-1)•an,求数列{bn}的前n项和Tn。18.(本小题满
4、分16分)如图,半径为30cm的圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设OB与矩形材料的边OA的夹角为,圆柱的体积方Vcm3。(I)求V关于的函数关系式,并写出定义域?(II)求圆柱形罐子体积V的最大值。19、已知函数.(1)求函数的极值;(2)求函数(为实常数)的单调区间;(3)若不等式对一切正实数恒成立,求实数的取值范围.20.(本小题满分16分)已知函数.(1)求函数的零点的个数;(2)令,若函数在
5、(0,)内有极值,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,对任意,求证:答案:1、2、33、4、15、6、17、8、9、10、11、3212、13、或14、15、答案:(1)5(2)16、答案:(1)(2)要使在上递增,则17:设在等比数列{}中,公比为q,由题意可知19、解:(1)g(x)=lnx-x+1,g′(x)=-1=,当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0,可得g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(x)有极大值为g(1)=0,无极小值.(2)h(x)=lnx+
6、x-a
7、
8、.当a≤0时,h(x)=lnx+x-a,h′(x)=1+>0恒成立,此时h(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,h(x)=①当x≥a时,h(x)=lnx+x-a,h′(x)=1+>0恒成立,此时h(x)在(a,+∞)上单调递增;②当0<x<a时,h(x)=lnx-x+a,h′(x)=-1=.当0<a≤1时,h′(x)>0恒成立,此时h(x)在(0,a)上单调递增;当a>1时,当0<x<1时h′(x)>0,当1≤x<a时h′(x)≤0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减.综上,当a≤1时,h(x)
9、的增区间为(0,+∞),无减区间;当a>1时,h(x)增区间为(0,1),(a,+∞);减区间为(1,a).(3)不等式(x2-1)f(x)≥k(x-1)2对一切正实数x恒成立,即(x2-1)lnx≥k(x-1)2对一切正实数x恒成立.当0<x<1时,x2-1<0;lnx<0,则(x2-1)lnx>0;当x≥1时,x2-1≥0;lnx≥0,则(x2-1)lnx≥0.因此当x>0时,(x2-1)lnx≥0恒成立.又当k≤0时,k(x-1)2≤0,故当k≤0时,(x2-1)lnx≥k(x-1)2恒成立.下面讨论k>0的情形.当x>
10、0且x≠1时,(x2-1)lnx-k(x-1)2=(x2-1)[lnx-].设h(x)=lnx-(x>0且x≠1),.记△=4(1-k)2-4=4(k2-2k).①当△≤0,即0<k≤2时,h′(x)≥0恒成立,故h(x)在(0,1)及(1,+∞)上单调递增.于是当0<x<1
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