2019-2020年高中数学 3.2.4用向量方法求空间中的距离课后习题 新人教A版选修2-1

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1、2019-2020年高中数学3.2.4用向量方法求空间中的距离课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升1.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)A.B.2C.D.解析:由已知可得A(1,1,-2),B(3,2,8).于是P,又C(0,1,0),故

2、

3、=.答案:D2.如图,在直二面角α-l-β中,AC⊂α,BD⊂β,AC⊥l,BD⊥l,AC=1,AB=2,BD=3,则C,D两点之间的距离为(　　)A.B.2C.D.解析:因为,所以

4、

5、2=()2=

6、

7、2+

8、

9、2+

10、

11、2+2()=12+22+32+

12、2×(0+0+0)=14,故

13、

14、=.答案:C3.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是(　　)A.aB.aC.aD.a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系.∵正方体的棱长为a,∴A1(a,0,a),A(a,0,0),M,B(a,a,0),D(0,0,0).设n=(x,y,z)为平面MBD的一个法向量,则∵,∴令y=1,则z=2,x=-1,∴平面MBD的法向量为n=(-1,1,2).又∵=(a,0,a),∴点A1与平面MBD的距离d=a.答案:A4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是

15、A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是(　　)A.B.C.D.解析:如图,建立空间直角坐标系,则=(2,0,0),=(1,0,2),设∠ABE=θ,则cosθ=,sinθ=.故A到直线BE的距离d=

16、

17、sinθ=2×.答案:B5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为　　　　. 解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).设M为AC中点,则M.∵AD1=CD1,∴MD1即为点D1到AC的距离.而

18、

19、=,∴点D1到AC的距离为.答案:6.棱长为

20、1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则点D到平面EFD1B1的距离为　　　　　. 解析:建立如图所示的空间坐标系.则D1(0,0,0),F,E,B1(1,1,0),D(0,0,1).故=(1,1,0),则可求得平面EFD1B1的法向量为n=.又=(0,0,1),故d=.答案:7.如图,在二面角α-l-β中,AB⊂α,且AB⊥l,CD⊂β,CD⊥l,B、C∈l,且AB,CD的夹角为60°,若AB=BC=CD=1,求A与D两点间的距离.解:∵,∴

21、

22、2=()2=

23、

24、2+

25、

26、2+

27、

28、2+2(),∵AB=BC=CD=1,AB⊥BC,CD⊥BC,

29、且AB,CD的夹角为60°,∴=0,=

30、

31、

32、

33、cos??=1×1×cos(180°-60°)=-,∴

34、

35、2=1+1+1+2×=2,即

36、

37、=,故A与D间的距离等于.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.求点C到平面AEC1F的距离.解:建立以D为原点,DA,DC,DF分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),故=(0,4,1),=(-2,0,2).设n=(x,y,z)为平面AEC1

38、F的法向量,则令z=1得y=-,x=1.故n=.又=(0,0,3),故点C到平面AEC1F的距离d=.故点C到平面AEC1F的距离为.B组1.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到△ABC的重心G的距离为(　　)A.2B.C.1D.解析:建立如图的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),所以G,故

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40、==.答案:D2.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直线与l垂直,则点P(4,3,2)到l的距离为　　　　　. 解析:∵=(-2,0,-1),且n与l垂直,∴点P

41、到l的距离为.答案:3.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与ACD垂直.则B与D之间的距离为　　　　　. 解析:由B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N.则可求得AM=,BM=,CN=,DN=.MN=1.∵,∴

42、

43、2=()2=

44、

45、2+

46、

47、2+

48、

49、2+2()=+12++2(0+0+0)=,∴

50、

51、=.答案:4.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距离是　　　　　.