高等代数课件(北大三版)--第四章 线性方程组

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1、第四章线性方程组4.1消元法4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法4.3线性方程组的公式解4.4结式和判别式伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关。——克莱因（KleinF，1849－1925）惠州学院数学系4.1消元法1.内容分布4.1.1线性方程组的初等变换4.1.2矩阵的初等变换阶梯形矩阵4.1.3线性方程组有解的判别2.教学目的:会用消元法解线性方程组3.重点难点:线性方程组的消元解法惠州学院数学系前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方

2、程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.（1）惠州学院数学系例1解线性方程组：从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量（2）惠州学院数学系得到：为了计算的方便，把第一个方程乘以-2后，与第二个方程交换，得：把第二个方程的2倍加到第三个方程，消去后一方程中的未知量，得到惠州学院数学系现在很容易求出方程组（2）的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三个方程，得再

3、从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：这样我们就求出方程组的解.惠州学院数学系①交换两个方程的位置；②用一个不等于零的数某一个方程；③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.4.1.1线性方程组的初等变换线性方程的初等变换：对方程组施行下面三种变换：这三种变换叫作线性方程组的初等变换.定理4.1.1初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组惠州学院数学系线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：（3）（4）惠州学院数学系4.1.2矩阵的初等变换定义

4、1由st个数排成一个s行t列的表叫做一个s行t列（或s×t）的矩阵，叫做这个矩阵的元素.注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.惠州学院数学系矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵.一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组.定义2矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上.1

5、)交换矩阵的两行（列）2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；惠州学院数学系显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.在对于一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简.因此我们先

6、来研究，利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题.在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换.后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究.惠州学院数学系在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵先化为然后，进一步化为定理4.1.2设A是一个m行n列的矩阵：惠州学院数学系通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：(5)惠州学院数学系这里*表示矩阵的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相同.证若是矩阵A的元素都等于零

7、，那么A已有（5）的形式进而化为以下形式，（6）惠州学院数学系乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数，矩阵A化为设某一不等于零，必要时交换矩阵的行和列，可以使这个元素位在矩阵的左上角.若B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，惠州学院数学系那么B已有（5）的形式.设B的后m–1行中有一个元素b不为零，把b换到第二行第二列的交点位置，然后用上面同样的方法，可把B化为如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵.形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是惠州学院数学系显然的.只要把由第一，第

8、二，…，第r–1行分别减去第r行的适当倍数，再由第一，第二，…，第r–2行分别减去第r–1行的适当倍数，等等.惠州学院数学系4.1.3用消元法解线性方程组考察方程组（1）的增广矩阵（4）.由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）.对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：(7)惠州学院数学系与（7）相当的线性方程组是（8）惠州学院数学系由于方程组（8）可以由