初等数论二-夏子厚

《初等数论二-夏子厚》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、初等数论(二)NumberTheory（Chap2）信阳职业技术学院夏子厚第二章不定方程教学目的和要求（1）正确理解不定方程的基本概念。（2）熟练掌握二元一次不定方程的解法和勾股不定方程解的结构，掌握二元一次不定方程与多元一次不定方程解的关系，会解三元一次不定方程和简单的高次不定方程，会应用不定方程解某些实际问题。本章重点是二元一次不定方程和勾股不定方程。第一节二元一次不定方程二元一次不定方程的形式：axby=ca,b,c∈Z,且ab≠0(1)不定方程的基本问题是(1)方程有没有解？（2）若有解，怎样求出它的解？定理1方程(1)有解的充要条件是(a，b)c第一节二元一

2、次不定方程证明：必要性：若（1）式有一整数解（x0,y0），则ax0by0=c因(a，b)a，(a，b)b，从而(a，b)c充分性：若(a，b)c，则c=c1(a，b)，c1∈Z。由裴蜀恒等式知，存在s,tZ,使得as+bt=(a,b)。令x0=sc1,y0=tc1,即得ax0by0=c。故（1）式有整数解（x0,y0）。第一节二元一次不定方程定理2设a，b，c是整数，若方程axby=c有解(x0,y0)，则它的一切解具有，tZ(2)的形式，其中。第一节二元一次不定方程证明容易验证，由式(2)确定的x与y满足方程(1)。下面证明，方程(1)的解都可写成式

3、(2)中的形式。设(x,y)是方程(1)的解，则ax0by0=axby=c，得到a(xx0)=b(yy0)，即：第一节二元一次不定方程由此，以及和第一章第三节定理4，得到xx0，因此存在整数t，使得故tZ第一节二元一次不定方程注：定理1和定理2说明了解方程(1)的步骤：(1)判断方程是否有解，即(a,b)c是否成立；(2)若方程(1)有解，即(a,b)c成立。则把方程(1)改写为显然上式与方程(1)同解。若可用观察法得到上式的特解x0，y0，则可进行下一步；若不易用观察法得到，可利用辗转相除法先求出a1xb1y=1的特解x0，、y0，，再求a1xb1

4、y=c1的特解x0，y0。第一节二元一次不定方程(3)写出方程(1)的解例1：求7x+4y=100的一切整数解解：因（7，4）=1，从而原方程有解。其特解为x0=0，y0=25。故其一切整数解为x=4t，y=25-7ttZ。第一节二元一次不定方程例2：求111x－321y=75的一切整数解解：因（111，321）=3，3︱75，从而原方程有解。且其解与37x-107y=25的解相同。先利用辗转相除法求37x-107y=1的特解（x0，、y0，）。由107=37×2+3337=33×1+433=4×8+1第一节二元一次不定方程得1=33-4×8=107-37×2-（37-

5、33）×8=107-37×10+33×8=107-37×10+（107-37×2）×8=107×9-37×26=37×（-26）-107×（-9）从而x0，=-26、y0，=-9因此x0=-26×25，y0=-9×25。故x=-26×25-107t，y=-9×25-37ttZ。第一节二元一次不定方程例3：证明：二元一次不定方程axby=N，a>0，b>0，(a,b)=1的非负整数解的个数为1。证明：二元一次不定方程axby=N的一切整数解为，tZ，于是由x0，y0得，但区间的长度是，故此区间内的整数个数为1。第一节二元一次不定方程例4：证明：二元一次不定方

6、程axby=N(a,b)=1，a＞1，b＞1,当N＞abab时有非负整数解，但是N=abab时则不然。（不再给予证明）注：这就是著名的弗罗贝尼乌斯（Frobenius）问题。这时n=2的情况，在19世纪，由西勒维斯特（Sylvester）证明了这个定理。如：5x+6y=C无非负整数解的最大整数C=?第一节二元一次不定方程思考与练习2.11、解下列不定方程：（1）15x+25y=100（2）306x-360y=6302、把100分成两份，使一份可被7整除，一份可被11整除。3、设a与b是正整数，(a,b)=1，则任何大于abab的整数n都可以表示成n=axb

7、y的形式，其中x与y是非负整数，但是n=abab不能表示成这种形式。第二节多元一次不定方程设a1,a2,,an是非零整数，N是整数，称关于未知数x1,x2,,xn的方程a1x1a2x2anxn=N(1)是n元一次不定方程。若存在整数x10,x20,,xn0满足方程(1)，则称(x10,x20,,xn0)是方程(1)的解，或者说x1=x10，x2=x20，，xn=xn0是方程(1)的解。第二节多元一次不定方程定理1方程(1)有解的充要条件是(a1,a2,,an)N。定理2设a1,a2,,an,N是整数