初等数论一-夏子厚

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1、初等数论(一)NumberTheory（Chap1）信阳职业技术学院夏子厚《初等数论》课程内容第一章 整除性质第一节整除与带余除法第二节最大公因数第三节最小公倍数第四节辗转相除法第五节算术基本定理第六节函数[X]、{X}的性质及其应用《初等数论》课程内容第二章 不定方程第一节二元一次不定方程第二节多元一次不定方程第三节勾股数x2y2=z2《初等数论》课程内容第三章 同余性质第一节同余的概念及其基本性质第二节完全剩余系第三节欧拉函数与简化剩余系第四节欧拉定理与费马定理《初等数论》课程内容第四章 同余方程第一节一次同余方程第二节孙子定理（中国剩余

2、定理）第三节质数模的同余方程第四节二次同余方程与平方剩余第五节勒让德符号与二次互反律第六节雅可比符号第一章整数性质教学目的和要求（1）深刻理解整除、最大公因数、最小公倍数、质数的概念，正确理解带余数除法和算术基本定理的意义及作用。（2）掌握并能直接运用辗转相除法求最大公因数。（3）熟练掌握整除、质数、最大公因数和最小公倍数的基本性质，理解并掌握函数[x]、{x}的概念和基本性质，会求n!的标准分解式（n较小）。第一节整除与带余数除法定义1设a，b是整数，b0，如果存在整数q，使得a=bq成立，则称b整除a或a被b整除，此时a是b的倍数，b是a

3、的因数（约数或除数），并且记作：ba；如果不存在整数q使得a=bq成立，则称b不能整除a或a不被b整除，记作：ba。第一节整除与带余数除法定理1下面的结论成立：(1)ab，bcac；（传递性）(2)ma，mbm(a±b)(3)mai，i=1,2,,nma1q1a2q2anqn，此处qi∈Z（i=1,2,,n）。第一节整除与带余数除法注：①abab；②babcac，此处c是任意的非零整数；③ba，a0

4、b

5、

6、a

7、；ba且

8、a

9、<

10、b

11、a=0。④an-bn=(a-b)M1,n∈Zan+

12、bn=(a+b)M2,2n,M1,M2∈Z第一节整除与带余数除法定理2(带余数除法)设a与b是两个整数，b>0，则存在唯一的两个整数q和r，使得a=bqr，0r

13、，0r,r

14、rr

15、

16、

17、rr

18、知rr=0，r=r再由式(2)得出q=q从而q和r是唯一的。第一节整除与带余数除法定义2称式(1)中的q是a被b除的商，r是a被b除的余数。我们设b=15，则：当a=255时，a=17b+0,r=0<15,而q=17;当a=417时，a=27b+12,r=12<15,而q=27;当a=-81时，a=-6b+9,r=9<15,而q=-6。第一节整除与带余数除法由定理2可知，对于给定的正整数b，可以

19、按照被b除的余数将所有的整数分成b类。在同一类中的数被b除的余数相同。这就使得许多关于全体整数的问题可以归化为对有限个整数类的研究（我们将在第三章同余性质里讨论）。第一节整除与带余数除法例1任意给出的五个整数中，必有三个数之和被3整除。证明设这五个数是ai，i=1,2,3,4,5，记ai=3qiri，0ri<3，i=1,2,3,4,5。第一节整除与带余数除法分别考虑以下两种情形：(ⅰ)若在r1,r2,,r5中数0，1，2都出现，不妨设r1=0，r2=1，r3=2，此时a1a2a3=3(q1q2q3)3可以被3整除；(ⅱ)若在r1

20、,r2,,r5中数0，1，2至少有一个不出现，这样至少有三个ri要取相同的值，不妨设r1=r2=r3=r（r=0，1或2），此时a1a2a3=3(q1q2q3)3r可以被3整除。综合(ⅰ)、(ⅱ)可知，所证结论成立。第一节整除与带余数除法例2若ax0+by0是形如ax+by（x,y∈Z，a，b是两个不全为零的整数）的数中的最小正数，则ax0+by0∣ax+by。第一节整除与带余数除法证明：由于a,b不全为0，所以在整数集合S={ax+by∣x,y∈Z}中存在正整数，因而有形如ax+by的最小正数ax0+by0。对任意的x,y∈Z，由

21、带余除法有ax+by=（ax0+by0）q+r,0≤r