夏建新--初等数论

《夏建新--初等数论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2012年江苏省高中数学奥林匹克夏令营初等数论江苏省南菁高级中学夏建新一、整除⑴带余除法：对于任一整数a和任一非零整数b，必有惟一的一对整数q和r，使得a＝bq＋r，0≤r＜b，且q和r由上述条件惟一确定。　若r＝0，则称b

2、a。⑵部分性质：①若c

3、b，b

4、a，则c

5、a②若c

6、a，d

7、b，则cd

8、ab③若c

9、a，c

10、b，则c

11、（ka＋nb）；若c

12、a，cb，则c（a＋b）④若ma

13、mb，则a

14、b⑤若a＞0，b＞0，b

15、a，则b≤a⑥若n∈N*，则（a－b）

16、（an－bn）。若n为奇数，则（a＋b）

17、（an＋bn）。若n为偶数，则（a＋b）

18、（an－bn）⑦任

19、意n个连续正整数的乘积必能被n！整除。⑶当（a，b）＝1时，称a、b互素（互质）。有：①已知（a，c）＝1，若a

20、bc，则a

21、b；若a

22、b，c

23、b，则ac

24、b②p为质数，若p

25、ab，则p

26、a或p

27、b③[a，b]·（a，b）＝ab④（a，b）＝（a，b－ac）＝（a－bc，b）对任何整数c成立⑤（裴蜀定理）存在整数x、y，使ax＋by＝（a，b）⑥m（a，b）＝（ma，mb）⑦若（a，b）＝d，则＝1⑧若a

28、m，b

29、m，则[a，b]

30、m⑨m[a，b]＝[ma，mb]⑩费尔马小定理：p是素数，则p

31、ap－a若另上条件（a，p）＝1，则p

32、ap－1－1例1、求所有

33、的正整数n，使得8n＋n可以被2n＋n整除。（2009年日本数学奥林匹克）例2、设n≥m≥1，m、n为整数，证明：·C为整数。（2000年普特南）例3、求所有的正整数n，使n能被所有不大于的正整数整除。例4、已知a，b，c为两两互质的正整数，且a2

34、(b3＋c3)，b2

35、(a3＋c3)，c2

36、(a3＋b3)，求a，b，c的值．（2011年东南数学奥林匹克）例5、求有序三元正整数组（a，b，c）的个数，其中[a，b]＝1000，[b，c]＝2000，[a，c]＝2000。（[x，y]表示x、y的最小公倍数）例6、证明：对所有的非负整数n，7＋1至少是2n＋3个

37、质数（不一定互不相同）的乘积。（2007年第36届美国数学奥林匹克）例7、是否存在奇数n（n≥3）及n个互不相同的质数p1，p2，…，pn，使得pi＋pi＋1（i＝1，2，…，n，pn＋1＝p1）都是完全平方数？请证明你的结论。（2011年中国西部数学奥林匹克）二、同余1、定义：设m是正整数，叫做模，若m

38、（a－b），称a，b对模m同余，记作a≡b（modm）2、性质：①a≡a（modm）②若a≡b（modm），则b≡a（modm）③若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）④若a≡b（modm），c≡d（modm），则a±c≡b±d（m

39、odm），ac≡bd（modm）2012年江苏省高中数学奥林匹克夏令营⑤若n

40、m，a≡b（modm），则a≡b（modn）⑥若（m，n）＝1，a≡b（modm），a≡b（modn），则a≡b（modmn）⑦若a≡b（modm），n∈N*，则an≡bn（modm）⑧若ac≡bc（modm），（c，m）＝d，则a≡b（mod）⑨费尔马小定理：p是素数，则ap≡a（modp）若另上条件（a，p）＝1，则ap－1≡1（modp）3、剩余类：把关于模m同余的数归于一类，每类称为一个模m的剩余类。剩余类的结构很简单，设A是余数为r的剩余类，则A＝{qm＋r

41、m是模，r是

42、余数，q＝0，±1，±2，…}设A1、A2、…、Am是模m的m个剩余类，从Ai中取一数ai，则a1，a2，…，am称为模m的一个完全剩余系，简称m的完系。例8、证明：不存在正整数x，y满足x3＋y3＝22009。（2009年巴西数学奥林匹克）例9、证明：对任意质数p，存在无限多个形如2n－n的数被p整除。例10、已知p是奇素数，证明：（第36届加拿大数学奥林匹克）例11、求所有的素数对（p，q），使得pq

43、5p＋5q．（2009年CMO）例12、试确定具有下述性质的所有正整数n：集合M＝{n，n＋1，n＋2，n＋3，n＋4，n＋5}可以分成两个不相交的非空子

44、集，使得一个子集中所有元素的积等于另一子集的所有元素之积。（第12届IMO）三、不定方程例13、将棱长为某整数的正方体切割成99个小正方体，其中98个是棱长为1的正方体，另一个正方体的棱长也是整数，求原正方体的棱长。例14、求所有满足方程3×2m＋1＝n2的正整数对(m，n)（2009年新加坡数学奥林匹克）例15、求所有的正整数a、b、c，其中1＜a＜b＜c，使得(a－1)(b－1)(c－1)是abc－1的约数。（第33届IMO）四、其它1、高斯函数⑴定义：[x]表示不超过x的最大整数，通常称y＝[x]为取整函数，也称高斯函数，记{x}＝x－[x]，y＝{x

45、}称为x的小数部分函数。⑵性质：①[x]＋{x}＝x