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时间:2019-11-06
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1、第五节 曲线与方程1.曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线上点的坐标都是________________.(2)以这个方程的解为坐标的点都是_______________.那么这个方程叫做______________,这条曲线叫做____________.这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线2.求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系,用______________________表示曲线上任意一点的坐标;(2)写出适合条件P的点M的集合P={M
2、P(M)};(3)用坐标表示P(M),列
3、出方程f(x,y)=0,并化简.3.曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x,y)=0,曲线C2的方程为F2(x,y)=0,则C1、C2的交点坐标即为________________________的实数解.若此方程组_________,则两曲线无交点.有序实数对(x,y)方程组无解1.如果曲线与方程只满足第(2)个条件,会出现什么情况?【提示】若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,则这个方程可能只是部分曲线的方程,而非整个曲线的方程,如分段函数的解析式.2.轨迹与轨迹方程相同吗?【提示】不同.前者为图形包括轨迹的形状、方程、图形等,而后者仅指方程.【答案】D
4、2.方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是()【解析】由xy<0知,曲线在第二、四象限,故选C.【答案】C3.若M、N为两个定点,且
5、MN
6、=6,动点P满足·=0,则P点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】AA.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线【解析】由已知:
7、MF
8、=
9、MB
10、,根据抛物线的定义知,点M的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线,故选D.【答案】D用直接法求轨迹方程1.解答本题(2)时,根据利用第(1)问的结论消去m,n得到轨迹方程是解题的关键.2.如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系,而该等量关系又易于
11、表达成含x,y的等式,从而可直接得到轨迹方程,这种求轨迹方程的方法称为直接法.3.求点的轨迹时,要明确题设的隐含条件,以免增解,如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支.已知A、B为两定点,动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.(2012·佛山模拟)如图8-5-2,圆O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直线l是圆O的一条动切线,若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线,求抛物线焦点的轨迹方程.用定义法求轨迹方程【思路点拨】设抛物线的焦点为F,利用抛物线的定义可得:
12、AF
13、+
14、BF
15、=8,从而点F的轨迹是椭圆,又当点
16、F与点A、B在一条直线上时,不合题意,故应除去两点.1.解答本题时,易忽视点(-4,0)和(4,0)不合要求,致使答案错误.2.求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以直接根据定义先定轨迹类型,再写出其方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法,其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义.如图8-5-3所示,一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线?【解】设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O1、O2,将圆的方程分别配方得:(x
17、+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100.当动圆与圆O1相外切时,有
18、O1M
19、=R+2,①当动圆与圆O2相内切时,有
20、O2M
21、=10-R,②用代入法(相关点法)求轨迹方程【思路点拨】设M(x、y),P(x1,y1),用x、y表示出x1,y1代入双曲线方程求解.从近两年高考看,曲线与方程是高考的热点,特别是轨迹方程的求法几乎每年均有涉及,且常考常新,题型以解答题为主,既重视基本概念,基本技能,又重视思想方法,如数形结合,分类讨论等等,在解答此类题目时,应正确理解坐标法思想,防止失误.(2012·云浮模拟)在△ABC中,BC=4,A点为动点,满足sinC+sinB=2
22、sinA,求A点的轨迹方程.易错辨析之十七 坐标法应用不当致误错因分析:(1)没有建立适当的直角坐标系.(2)没有剔除不合要求的点.防范措施:(1)当题目本身没有建立平面直角坐标系时,应根据所求曲线的特点建立适当的平面直角坐标系.(2)点A、B、C能组成三角形,故三点不能共线,故排除三点共线的情况.【答案】A2.(2012·威海模拟)过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,若弦AB恰被Q点平分,求弦AB所在直线的方程.课时知能训练
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