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1、第五节椭圆(一)1.椭圆的定义平面内动点P到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a,若动点P的轨迹是椭圆，应具备的条件是_______；若轨迹是线段，则应当满足_______；当2aF1F22a=F1F22.椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形标准方程性质范围___≤x≤_____≤y≤_____≤x≤_____≤y≤__对称性对称轴：_______对称中心：_____顶点A1________，A2_______B1________，B2_______A1_______
2、_，A2_______B1________，B2_______轴长轴A1A2的长为___短轴B1B2的长为___-aa-bb-bb-aa坐标轴原点(-a，0)(a，0)(0，-b)(0，b)(0，-a)(0，a)(-b，0)(b，0)2a2b标准方程性质焦距F1F2=___离心率e=∈_______a,b,c的关系c2=_____2c(0，1)a2-b2判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点P与两焦点F
3、1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆.()(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(5)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.()【解析】(1)错误.由椭圆的定义知,当该常数大于F1F2时，其轨迹才是椭圆,而常数等于F1F2时，其轨迹为线段F1F2,常数小于F1F2时,不存在图形.(2)正确.由椭圆的定义得,PF1+PF2=2a,又F1F2=2c,∴PF1+PF2+F1F2=2a+2c.(3)错误.方程可化为其中故
4、其表示焦点在x轴上的椭圆.(4)错误.因为所以e越大,则越小，椭圆就越扁.(5)正确.由椭圆的对称性知,其关于原点中心对称,也关于两坐标轴对称.答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√1.已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3,则P到另一个焦点F2的距离为_______.【解析】∵a=5,且PF1=3,PF1+PF2=10,∴PF2=10-3=7.答案:72.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为______.【解析】已知c=5,2a=26
5、.∴a=13,又焦点在x轴上，故方程为答案:3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是______.【解析】由已知得4b=2a+2c,即a+c=2b.又b2=a2-c2,∴有(a+c)2=4(a2-c2),即3a2-2ac-5c2=0,亦即:解得答案:4.“-3＜m＜5”是“方程表示椭圆”的______条件.【解析】方程表示椭圆，则解得-3＜m＜5且m≠1.故方程表示椭圆,可得-3＜m＜5成立，但-3＜m＜5时,如m=1却不表示椭圆.答案:必要不充分5.已知椭圆的离心率则m
6、的值为_____.【解析】当焦点在x轴上时,0＜m＜5，a2=5,b2=m,c2=5-m,又解得m=3.当焦点在y轴上时,m＞5，a2=m,b2=5，c2=m-5,又解得综上可知m=3或答案：3或6.已知椭圆的短轴长为6，离心率为则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为______.【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3①又因为离心率为所以②又因为a2=b2+c2③解①②③组成的方程组得：a=5,c=4.所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.答案：9或1考向1椭圆的定义及应用【典例1】(1)
7、在△ABC中，点B(-12,0),C(12,0),且AC,AB边上的中线长之和等于39,则△ABC的重心的轨迹方程为______.(2)(2013·镇江模拟)已知F1,F2是椭圆C:的两个焦点,P为椭圆C上的一点，且若△PF1F2的面积为9,则b=______.【思路点拨】(1)先寻找到△ABC的重心与两定点B,C的关系，再根据椭圆的定义求出轨迹方程.(2)关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而依据定义有PF1+PF2=2a,再利用求出PF1·PF2，最后结合面积求得b值.【规范解答】(1)如图,设M是△A
8、BC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线,由重心的性质知于是又26＞BC=24,根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与x轴的交点).∵2a=MB+MC=26,∴a=13.又2c=BC=24,∴c=12.∴b2=a2-c2=132-122=25.故所求的轨迹方程为答案：(2)由题意知PF1+PF2=2a,∴PF12+PF22=F1F22=4c2,∴(PF1+PF2)2-2PF1·PF2=4c2,∴2PF1·P
