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1、第七节 立体几何中的向量方法1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：直线l上的非零向量a或与a_______的向量叫做直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．共线2．利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
2、cos〈a，n〉
3、②设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是________________________(如图7－7－1②③)．
4、二面角的平面角的大小1．直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？2．怎样求平面的法向量？【提示】不是唯一的．都有无穷多个．1．(教材改编题)设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝()A．3B．4C．5D．6【解析】∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.【答案】C2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3
5、,4)【答案】A3．(2012·潍坊模拟)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【答案】C【答案】－8如图7－7－2所示，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.利用空间向量判定平行或垂直【思路点拨】根据PC，BC，CD两两垂直
6、建系→由PB与平面ABCD所成角求BC→分别确定D，B，A，P，M坐标→求出相应向量→用向量法证明1．(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)解答本题的关键是由PB与平面ABCD所成角求出BC，从而确定相应点的坐标．2．利用空间向量证明平行、垂直问题的优势在于将复杂的推理证明，辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象、演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．如图7－7－3，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB
7、＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.(2011·北京高考)如图7－7－4，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【思路点拨】(1)根据线面垂直的判定和性质定理易证BD⊥平面PAC；(2)由题设条件，以BD与AC的交点为坐标原点建立坐标系；第(3)问根据法向量垂直，求出点P的坐
8、标，进而求
9、PA
10、.利用空间向量求线线角和线面角利用空间向量求二面角如图7－7－7所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A—A1D—B的余弦值．图7－7－7直三棱柱A1B1C1—ABC及三视图如图7－7－8所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点．图7－7－8(1)求二面角B—A1D—A的余弦值；(2)在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．利用空间向量解决开放性问题【思路点拨】(1)以点C为坐标原点建
11、立空间直角坐标系，结合三视图的数据，求各点及相关向量的坐标；(2)设出点F的坐标，由垂直关系，转化为代数方程求解．如图7－7－9所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．图7－7－9从近两年高考试题看，利用空间向量求空间角是每年高考必考内容，重点考查向量方法的应用，而且从命题趋势看，创新和开放题也是命题的方向，已知空间角，探究点是否存在或者确定点的位置，进而解决问题，这类问题应引起
12、足够重视．1．如图7－7－11所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别是PC，CD的中点．(1)证明：CD⊥平面BEF；(2)设PA＝k·AB，且二面角E—BD－C为60°，求k的值．课时知能训练
