第七章 第七节 空间向量及其运算[理]

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1、第七章第七节空间向量及其运算[理]1．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于(　　)A．5　　　　　　B.C．4D．22．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(－)－；②()－；③()－2；④(＋)＋.其中能够化简为向量的是(　　)A．①②B．②③C．③④D．①④3．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则可表示为(用a，b、c表示)．(　　)A.a＋b＋cB.a＋b－cC.a＋b＋cD.a－b＋c4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，

2、点E为上底面A1C1的中心，若＋x，则x、y的值分别为(　　)A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则EF与BD1所成的角是(　　)A．90°B．60°C．30°D．0°6．已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则＋()等于(　　)A．B．C．D.7．在空间四边形ABCD中，＝________.8．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则

3、

4、的值是________．9．(2009·平顶山模拟)如图，在棱长为1的正

5、方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为________．10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)；(2).11．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图)．求B、D间的距离．12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角

6、的余弦值．1．A2．A3．A4．C5．D6．A7，08．9．10．解：如图，设＝a，＝b，＝c，则

7、a

8、＝

9、c

10、＝2，

11、b

12、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝b·[(c－a)＋b]＝

13、b

14、2＝42＝16；(2)·＝[(c－a)＋b]·(b＋a)＝(－a＋b＋c)·(b＋a)＝－

15、a

16、2＋

17、b

18、2＝2.11．解：∵∠ACD=90°，∴＝0.同理＝0.∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°.∵，∴＝＝3＋2×1×1×cos〈〉＝∴

19、

20、＝2或，即B、D间的距离为2或.12．解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意，

21、a

22、＝

23、b

24、＝

25、c

26、且a·b

27、＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，∴

28、

29、＝

30、a

31、，

32、

33、＝

34、a

35、.·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝

36、a

37、2，∴cos〈，〉＝＝.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.1．解析：设＝λ，又＝(0,4，－3)．则＝(0,4λ，－3λ)．＝(4，－5,0)，＝(－4,4λ＋5，－3λ)，由·＝0，得λ＝－，∴＝(－4，，)，∴

38、

39、＝5.答案：A2．解析：①；②；③；④，综上①②符合题意．答案：A3．解析：×()＝×()＝＋＋＝a＋b＋c.答案：A4．解析：如图，＋＋()．答案：C5．解

40、析：可求得∥，即BD1∥EF.答案：D6．解析：如图所示：()＝，＋＝.答案：A7，解析：设＝b，＝c，＝d，则＝d－c，＝d－b，＝c－b.原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c(d－b)＝0.答案：08．解析：设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)．＝(－1－x,3－y,4－z)由＝2得点P坐标为(－，，3)，又D(1,1,1)，∴

41、

42、＝.答案：9．解析：建系可求得cosθ=.答案：10．解：如图，设＝a，＝b，＝c，则

43、a

44、＝

45、c

46、＝2，

47、b

48、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝b·[(c－a)＋b]＝

49、b

50、2＝42＝16；(2)·＝

51、[(c－a)＋b]·(b＋a)＝(－a＋b＋c)·(b＋a)＝－

52、a

53、2＋

54、b

55、2＝2.11．解：∵∠ACD=90°，∴＝0.同理＝0.∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°.∵，∴＝＝3＋2×1×1×cos〈〉＝∴

56、

57、＝2或，即B、D间的距离为2或.12．解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意，

58、a

59、＝

60、b

61、＝

62、c

63、且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，∴

64、

65、＝

66、a

67、，

68、

69、＝

70、a

71、.·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝

72、a

73、2，∴cos〈，〉＝＝.即异面直线CE

74、与AC′所成角的余弦值为