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《第七章 第七节 空间向量的综合应用(理).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的或说向量n与平面α．正交法向量2．直线与平面的夹角(1)斜线和平面内任一直线所成的角已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B为垂足，设OM是α内通过点O的任一条直线，OA与OB所成的角为θ1
2、，OB与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则cosθ＝.cosθ1·cosθ2(2)斜线和平面所成角的性质(最小角定理)斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中的角．(3)斜线和平面的夹角斜线和它在平面内的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的)．(4)直线和平面所成角α的范围是.最小射影夹角0°≤α≤90°[思考探究]直线与平面所成的角和平面的法向量与直线的方向向量所成的角有怎样的关系？提示：当直线的方向向量与平面的法向量所成的角是锐角时，其余角为线面角；当直线的方向向量与平面的法向量所成的角是钝角时，其补角的余角是线面角．3．二面角及其度
3、量(1)二面角及相关概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α－l－β.二面角面(2)二面角的平面角在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则叫做二面角α－l－β的平面角．平面角是的二面角叫做直二面角．(3)二面角α的范围是.∠AOB直角0°≤α≤180°1.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6，9,6)，则()A.l1∥l2B.l1⊥l2C.l1与l2相交但不垂直D.以上均不正确解析：∵a·b＝2×(－6)＋4×9＋6×(－
4、4)＝0，∴a⊥b，从而l1⊥l2.答案：B2.若平面α与平面β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(－4,0,2)，则平面α与β的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法判断解析：由题意，有a＝－b，∴a与b共线，从而α与β平行.答案：A3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是()A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，y,2)，＝(－1,1－y，－2
5、)，＝(－2,0,1)，＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．答案：C4.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为.解析：cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案：45°或135°5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.解析：如图，建立直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1).设n＝
6、(x，y，z)为平面A1BD的法向量则∴取n＝(1，－1，－1)，设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ＝
7、cos〈n，〉
8、＝＝＝.∴cosθ＝.答案：1.证线线平行与垂直.若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则：①l1∥l2⇔v1∥v2.②l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.2.证线面平行与垂直若直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则：①l∥α⇔v⊥n.②l⊥α⇔v∥n.3.证面面平行与垂直若⇔平面α和β的法向量分别为n1，n2，则①α∥β⇔n1∥n2.②α⊥βn1⊥n2.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，
9、∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角.(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.[思路点拨][课堂笔记]以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0
