空间向量的应用大综合

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1、4空间向量的应用及立体几何综合基础梳理1.模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

2、a

3、＝＝，cos〈a，b〉＝＝.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝

4、

5、＝b1-a12+b2-a22+（b3-a3）22．立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为(2)用向量证明空间中的平行关系①

6、设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1

7、⊥u2⇔u1·u2＝0.(4)点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.3.(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cosθ＝

8、cos〈m1，m2〉

9、.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝

10、cos〈m，n〉

11、.(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB、CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或

12、－cos〈n1，n2〉．例题精选1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.42.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.3.在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求点B到平面CMN的距离．4.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2

13、.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．5.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)设AB＝AP.(ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；(ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由．6.已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2，求(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；(2)四面体AB1D1C的体积．7.已知正方体ABCDA1B1

14、C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．8.如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．9.已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．4(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．10.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(

15、2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值．11.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值．12.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.(1)证明PC⊥平面BED；(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.13.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直