资源描述：
《空间向量的应用(教师)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、空间向量的应用在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面4底面ABCQ是菱形，AB=2,ZBAD=6O.(1)求证：丄平面PAC;(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.解：(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC丄BD.又因为PA丄平面ABCD.所以PA1BD.故BD丄平面PAC.(2)设ACCIBD=O.因为ZBAD=60°,PA=PB=2,所以BO=1,AOCoJL如图，以0为坐标原点，建立空间直角坐标系0—xyz,则P(0,—V3,2),A(
2、0,—73,0),B(1,0,0),C(0,VL0).所以两二(l,V3,-2),AC=(0,2^3,0).设PB与AC所成角为&,则COS&PBAC~PB\AC6二亦2V2X2V3-4(3)由(2)^nBC=(-1,73,0).设P(0,—屈,t)(t>0),则BP=(-1,-V3,r)设平面PBC的法向量m=(x,y,z)，则BC•m=0,BP・m=0,所以［—兀+3占=°，令y=屈,则兀=3,z=§.所以m=(3,V3,-).-x-+fz_0t/同理，平面PDC的法向量n=(-3,C)，因
3、为平面PCB丄平面PDC,t所以m-n=0,即一6+斗=0,解得t=展,所以PA=J^.2.如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,四边形ABCD中，AB±AD,AB+AD=4,CD=V2,ZCDA=45。.(1)求证：平面PAB丄平面PAD；(2)设AB=AP.(i)若直线PB与平面PCD所成角为30。,(ii)在线段AD±是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等？说明理rfl.解：(1)因为PA丄平面ABCD,ACu平面ABCD,所以PA丄AB,又AB丄AD,PACAD
4、=A,所以AB丄平面PAD.又ABu平面PAB,所以平面PAB丄平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A一xyz(如图)在平面ABCD内,作CE//AB交AD于点E,则CE丄AD.在RtACDE中，DE=CDcos45°=l,CE=CDsin45°=l,设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t),由AB+AD=4,得AD=4-t,所以E(0,3—t,0),C(l,3—0),£)(0,4—0),CD=(-1,1,0),PD=(0,4—匚T).—►—►—x+y=0,(i)设平面
5、PCD的法向量为n=(x,y,z),由斤丄C£>,〃丄PD,得£l(4-r)y-/x=0.取x=tf得平面PCD的一个法向量n={t,t,4-t}»又PB=(/,0,T),故由直线PB与平面PCD所成的角为30。，得cos60。=i“PBI艮卩丨2广-4"_j_~
6、n
7、-
8、^l5卩Jz2+/2+(4-/)2-727~2，445B,C,D的距离都相等,解得/二一或/=4(舍去，因为AD=4-r>0),所以AB=-.5(ii)假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,设G(0,m,0)(其中05加5
9、4-/)则GC0),GD=(0,4—z—/?7,0),GP—(0,-/?7,t)»S
10、GC冃得1+(3-/一加)2=(4-/-m)2,(1)由
11、而冃而
12、得(4一/一加)2=府+尸，(2)由(1)、(2)消去t,化简得m2-3m+4=0(3)由于方程(3)没有实数根，所以在线段AD±不存在一个点G,使得点G到点P,C,D的距离都相等.从而，在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.3.如图，四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD,PD//QA.QA=AB=^PD.(1)证
13、明：平面PQC丄平面DCQ；(2)求二面角Q—BP—C的余弦值.解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.(1)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0)则DQ=(1,1,0),PC=(0,0,1)应=(1,-1,0).所以西•D2=0,P2-DC=0.即PQ丄DQ,PQ丄DC.故PQ丄平面DCQ.又PQu平面PQC,所以平面PQC丄平面DCQ.(2)依题意有B(1,0,1),岳=(1,0,0),丽=(—1,2,-1).n•
14、CB=0,ortfx=0,设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量，贝叶_即彳[n-BP=0,l-x+2y-z=0.m•BP=0,因此可取n=(0-]-2).设m是平面PBQ的法向量，则_m-PQ=0.可取加=(1,1,1).所以cos=一/5.故二面角Q—BP—C的余弦值为一'瓦.4.如图，在平面内直线莎与线段初相交于Q点，ZBCF=30,且化二CB=A,将此平面沿直线矿折成60°的二面角OC_EF—卩，必丄平面，点P为垂足.(1)求的面积；(2)求异面直
