第五章 第6讲 不等式选讲

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1、第6讲不等式选讲1．常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法．(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式．(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立．(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B

2、.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法．(5)放缩法：要证明不等式A0，

3、f(x)

4、

5、f(x)

6、>a⇔f(x)<－a或f(x)>a.(2)理解绝对值的几何意义

7、a

8、－

9、b

10、≤

11、a±b

12、≤

13、a

14、＋

15、b

16、.{x

17、－1b”，应假设为()A．a>bB．a

18、．a＝bD．a≤bD2．(2010年广东广州测试)若关于x的不等式

19、x－a

20、<1的解集为(1,3)，则实数a的值为()A(－∞，1)∪(2，＋∞)A．2B．1C．－1D．－24．不等式

21、2x－3

22、>1的解集为____________________．5．(2010年陕西)不等式

23、2x－1

24、<3的解集为_____________．3．不等式

25、2x－1

26、>

27、x

28、的解集为__________________．考点1比较法证明不等式证明：∵a＋b＝1，∴ax2＋by2－(ax＋by)2＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b

29、2y2＝a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy＝abx2＋bay2－2abxy＝ab(x－y)2.又a，b∈R＋，∴ab(x－y)2≥0.∴ax2＋by2≥(ax＋by)2.比较法证不等式步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式．第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论．第三步：得出结论.考点2综合法证明不等式利用某些已经证明的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件．综合法证明不等式的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B，及从已知条件A出发，逐步推

30、演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B.考点3分析法证明不等式分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立．当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法．用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证明命题B1为真，从而又只需证明命题B2为真，从而又……只需证明命题A为真，今已知A真，故B必真．简写为：B⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A.考点4利用放缩

31、法证明不等式时应把握好度要证A>B，可适当选择一个C，使得C≥B，反之亦然．主要应用于不等式两边差异较大时的证明．一般的放缩技巧有：①分式放缩：固定分子，放缩分母；固定分母，放缩分子．多见于分式类不等式的证明．②添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，多见于整式或根式配方后需要放缩的不等式的证明．考点5解绝对值不等式A．(0,2)B．(－∞，0)AC．(2，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)x－2解析：考查绝对值不等式的化简．绝对值大于本身，值为负数.x<0，解得A.或者选择x＝1和x＝－1，两个检验进行排除．②(

32、2011年广东)不等式

33、x＋1

34、－

35、x－3

36、≥0的解集是____________．[1，＋∞)解析：

37、x＋1

38、－

39、x－3

40、≥0⇔(x＋1)2≥(x－3)2，∴原不等式的解集为[1，＋∞)．[0，＋∞)为___________．③(2011年江西)对于x∈R，不等式

41、x＋10

42、－

43、x－2

44、≥8的解集考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值．题①利用代值法最好；题②利用平方法最好；题③利用零点分区间法最好．考点6不等式

45、

46、a

47、－

48、b

49、

50、≤

51、

52、a±b

53、≤

54、a

55、＋

56、b

57、的应用图5－6－1例6：设函数f(x)＝

58、2x＋1

59、－

60、x－4

61、.(1)解不等式f(x)>2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．对于比较复杂的含绝对值不等式的问题，若用常规解法需分类讨论，去掉绝对值符号，解法繁琐，而灵活运用绝对值的几何意义，往往能简便、巧妙地将问题解决．【互动探究】1．若不等式

62、x－4

63、