第01章 命题逻辑

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1、离散数学参考书耿素云高等教育出版社李盘林高等教育出版社（面向21世纪教材）徐秋亮山东大学出版社23第一篇数理逻辑逻辑学：研究思维形式及思维规律的科学辨证逻辑形式逻辑（思维的形式结构和规律）思维的形式结构：概念判断推理数理逻辑：用数学方法即通过引入表意符号研究推理的学问，又名为符号逻辑。4第一章命题逻辑退出命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。命题逻辑，也称命题演算，记为Ls。它与谓词逻辑构成数理逻辑的基础，而命题逻辑又是谓词逻辑的基础。51.1命题及其表示方法1.2联结词1.3命题公式与翻译1.4真值表与

2、等价式1.5重言式与蕴含式1.6其他联结词1.7对偶与范式1.8推理理论61-1命题及其表示方法例如：1+2=3。一、命题的概念一个命题，总是具有一个“值”，称为真值。真值只有即“真”和“假”，记作T(真)和F(假)。所谓命题，是指具有非真必假（不可兼）的陈述句。7例（1）明天下雨。（2）人有五指。（3）一个偶数可表示成两个素数之和。（4）我学英语，或者我学日语。（5）1＋101=110（6）x+y>5（7）全体立正！（8）8大于12吗？（9）这句话是假的。是是是是不是是不是不是不是8判断命题规则：2.真值必须唯一，与是否知道其真

3、值无关。3.命题的真值会因人因时因地因上下文而异。5.变量含义不确定的不是命题。4.自指谓的谬论（结论是对其自身而言的陈述句），不是命题。1.只有具有确定真值的陈述句才是命题，如感叹句，疑问句，祈使句等都不能判断其真假，不是命题。9命题分类：原子命题、复合命题。例如：（1）我看书，或者我听音乐。（2）如果今天不下雨，那么我去看电影。原子命题：不能分解为更简单的陈述句。复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合构成的。10目标语言（形式语言）：表达判断的一些字母和公式符号的汇集。它一方面反映了自然语言的特征，另一方面它没有自然语言的二

4、义性。二、命题的表示法命题标识符：大写字母、带下标的大写字母、数字等表示命题的符号。例如：P：北京是中国首都。[2]：北京是中国首都。11命题常量：表示一个确定的命题的命题标识符。命题变元：任意命题的位置标志。命题变元不是命题。当命题变元P用一个特定的命题取代时，P才能确定真值，也称对P进行指派。原子变元：命题变元表示原子命题。121-2联结词联结词是构成复合命题主要组成部分，其作用相当于初等数学里的实数集上定义的＋、－、×、÷等运算符。通过联结词便可定义新的命题，可由组成它的相应命题的真值确定复合命题的真值。值得注意的是逻辑联结词

5、与日常自然用语中的有关联结词的共同点和不同点。下面介绍五个常用的逻辑联结词：┐，∧，∨，→，⇆。13P┐PTFFT由于“否定”修改命题是对单个命题进行操作的，称它为一元联结词。（1）否定联结词┐(一元运算)14例如：P：上海是一个大城市。┐P：上海并不是一个大城市。上海是一个不大的城市。15例如：P：今天下雨。Q：明天下雨。PQP∧QTTTTFFFTFFFF（2）合取联结词∧（二元运算）上述命题的合取为：P∧Q：今天下雨而且明天下雨。今天与明天都下雨。16例如：李文与李武是兄弟王芳和陈兰是好朋友这两个命题中分别有“和”及“与”字

6、，可是它们都是简单命题而不是复合命题。17例如：P：我们去看电影；Q：2+2=4。合取联结词可以连接两个以上意义毫不相干的命题，新命题的真值可根据两个命题的真值和合取联结词的真值表确定。在自然语言中，上述命题是没有意义的，但在数理逻辑中，P，Q分别取真值后，P∧Q真值也必确定。则：P∧Q：我们去看电影与2+2=4。18（3）析取联结词∨（二元运算）PQP∨QTTTTFTFTTFFF汉语中的“或”可表示“排斥或”，也可表示“可兼或”。19例1：第一节课上数学课或者上英语课。例2：他可能是100米或400米赛跑的冠军。例3：他昨天做了二

7、十或三十道习题。是原子命题，不是复合命题。（排斥或）（可兼或）析取指的是“可兼或”。例1可表示为：(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)例2可表示为：P∨Q20与合取联结词一样，使用析取联结词时，也不要求两命题间一定有任何关系。例如：2小于3或者雪是黑的。P：2小于3Q：雪是黑的上述命题表示为：P∨Q21（4）条件联结词→（二元运算）PQP→QTTTTFFFTTFFT例1：如果我饿了，那么我就吃饭。例2：如果月亮从西边出来，则太阳也从西边出来。22条件命题P→Q有多种方式陈述：条件命题中，当前提为假时，结论不管真假，规定为“善意的推定”，条件命

8、题的真值都取为T。“如果P，那么Q”；“P仅当Q”；“Q每当P”；“P是Q的充分条件”；“Q是P的必要条件”等。23（5）双条件联结词⇆（二元运算）PQP⇆QTTTTFFFTFFFT例1：3>2当且仅当0<3-2。例2：燕子飞回南方