第1章 命题逻辑_1

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1、课程性质AppliedAlgebra----DiscreteMath.离散数学研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科。研究离散结构的数学分支。（辞海）计算机科学、信息科学、数字化科学的数学基础离散数学主要内容命题逻辑谓词逻辑集合二元关系函数代数系统群、环和域格与布尔代数图论数理逻辑(MathematicsLogic)集合论(Sets)代数结构（或代数系统）(AlgebraStructure)图论(GraphTheory)哥尼斯堡七桥问题哈密尔顿周游世界问题四色定理离散数学课程设置：计算机系核心课程信息类专业必修课程其它类专业的重要选修课程离散数学的后继课程：数据结构编译技术算法

2、分析与设计人工智能与机器人数据库网络和计算机图形学……教材及参考书左孝凌等，《离散数学》，上海科学技术文献出版社，2008同济大学应用数学系《离散数学》编写组，离散数学，统计大学出版社，2003第1章命题逻辑逻辑学：研究思维形式及思维规律的科学。辩证逻辑：以辩证法的世界观为基础的逻辑学。形式逻辑：对思维的形式结构和规律进行研究的类似于语法的一门工具性学科。思维的形式结构概念：思维的基本单位。判断：通过概念对事物是否具有某种属性进行肯定或否定的回答。推理：由一个或几个判断推出另一判断的思维形式。数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。数理逻辑包括逻辑演算、证明论、公理集合论、模型论和

3、递归论。本课程只介绍逻辑演算中的命题逻辑和谓词逻辑。17世纪中叶：德国数学家莱布尼茨(G.W.Leibnitz)创立。英国数学家布尔(G.Boole)：布尔代数德国数学家弗雷格(F.L.G.Frege)：量词与约束变元美国数学家歌德尔(K.Godel)：完全性定理意大利数学家皮亚诺(G.Peano)：公理系统英国数学家德摩根(A.DeMorgen)、罗素(B.A.Russell)。所谓的数学方法，就是引进一套符号体系的方法，所以数理逻辑又称为符号逻辑。第1章命题逻辑1.1命题及联结词1.1.1命题的基本概念在数理逻辑中把能判断真假的陈述句称为命题。一般用小写英文字母或小写英文字母

4、带下标表示。命题的概念包含了以下3个要素：⑴只有陈述句才有可能成为命题，而其它的语句，如：感叹句、祈使句、疑问句等都不是命题。⑵一个语句虽是陈述句,但不能判断真假不是命题。⑶虽然要求命题能判断真假，但不要求现在就能确定真假，将来可以确定真假也可以。一个命题表达的判断结果称为命题的真值。命题的真值有“真”和“假”两种，分别用True、T、1(真)和False、F、0(假)来表示。真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。任何命题的真值是唯一的。在命题逻辑中对命题不再细分，因而命题是命题逻辑中最基本的也是最小的研究单位。【例1.1】判断以下语句是否为命题。若是命题，确定其真

5、值。⑴上海是个小村庄。⑵存在外星人。⑶禁止吸烟！⑷北京是中国的首都。⑸4是素数或6是素数。⑹今天你吃了吗？⑺11+1=100⑻我正在说谎。命题(F)命题(待定)不是命题(祈使句)命题(T)命题(F)不是命题(疑问句)命题(其真值由上下文确定)不是命题(悖论)表示命题的小写英文字母或带下标的小写英文字母常称为命题标识符。如果命题标识符表示一个具体、确定的命题，称为命题常元。如果命题标识符表示任意一个命题，称为命题变元。命题变元无确定的真值。命题是能判断真假的陈述句。而命题变元代表任意的命题，其真值是不确定的。因而不是命题。如果一个命题不能再分解成更简单的命题，则称该命题为原子命题。

6、如果一个命题不是原子命题，称该命题为复合命题。如果命题变元表示原子命题时，该命题变元称为原子变元。在自然语言中，可以通过“如果…，那么…”，“不但…，而且…”这样的连词将简单的陈述句联结成复合语句，同样在命题逻辑当中，也可以通过命题联结词将原子变元联结起来表示复合命题。1.1.2命题联结词常用的逻辑联结词有五种：否定联结词、合取联结词、析取联结词、条件联结词和双条件联结词。表1.1p¬p0110p和¬p的关系如表1.1所示，表1.1叫做否定联结词“¬”的真值表(下同)。联结词“¬”也可以看作逻辑运算，它是一元运算。【例1.2】否定下列命题。p：王强是一名大学生。¬p：王强不是一名

7、大学生。1.否定联结词定义1.1.1设p为命题，则p的否定是一个复合命题，记作：¬p，读作“非p”或“p的否定”。2.合取联结词定义1.1.2设p和q均为命题，则p和q的合取是一个复合命题，记作p∧q，读作“p与q”或“p合取q”。定义为：当且仅当p和q均为T时，p∧q的才为T。联结词“∧”的真值表如表1.2所示。联结词“∧”也可以看成逻辑运算，它是二元逻辑运算。表1.2pqp∧q000010100111【例1.3】设p：2008年北京举办了奥运会。q：中国是世界四大文明古国之一