江苏高考数学一轮复习《通项与求和》教程学案

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1、第64课　通项与求和(1)1.熟练掌握等差、等比数列的通项公式，能将一些特殊数列转化为等差、等比数列来求通项.2.掌握求非等差、等比数列的通项公式的常用方法.1.阅读：必修5第37～39页、第51～53页.2.解悟：①等差数列和等比数列通项公式形式的联系与区别；②体会课本中推出等差数列和等比数列通项公式的方法；③整理求数列通项公式的常用方法.3.践习：在教材空白处，完成第39页思考、第41页第10题，第53页思考、第54页第4题.　基础诊断　1.已知等差数列{an}的公差为d，则an－am＝　(n－m)d

2、　.解析：因为数列{an}是等差数列，且公差为d，所以an－am＝a1＋(n－1)d－[a1＋(m－1)d]＝(n－m)d.2.在数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝　　.解析：当n≥2时，an＝a1××××…×＝1××××…×＝；当n＝1时也成立，故an＝.3.若数列{an}满足a1＝1，an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　an＝　.解析：由an＝n＋an－1可变形为an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，由此可写出以下各式：an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－

3、1，an－2－an－3＝n－2，…，a2－a1＝2，将以上等式两边分别相加，得an－a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2，所以an＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝.4.在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…中，任意连续的三项an，an＋1，an＋2的关系是　an＋2＝an＋an＋1　.　范例导航　8考向❶利用“累乘、累加”法求通项例1　已知数列{an}满足a1＝，数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝2bn.求数列{an}，{bn}的通

4、项公式.解析：因为Sn＝n2an(n∈N*)，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，所以an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，即＝.又a1＝，所以an＝×××…×××a1＝×××…×××＝.当n＝1时，上式成立，故an＝.因为b1＝2，bn＋1＝2bn，所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn＝2n.已知a1＝2，an＋1＝an＋ln，求数列{an}的通项公式.解析：因为an＋1＝an＋ln，所以an－an－1＝ln＝ln(n≥2)，

5、所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln＋ln＋…＋ln＋ln2＋2＝2＋ln8＝2＋lnn(n≥2).又a1＝2满足上式，故an＝2＋lnn(n∈N*).【注】(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求出通项，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项.(3)求数列的通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除叠加、迭代、累乘外，还应注意

6、配凑变形法.变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列，然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.求通项公式时，还可根据递推公式写出前几项，由此来猜测归纳出通项公式，然后再证明.考向❷构造等差、等比数列求通项例2　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，求数列{an}的通项公式.解析：(1)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1).又a1＝1，所以a1＋1＝2，故数列{

7、an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＋1＝2×3n－1，故an＝2×3n－1－1.(2)因为an＋1＝2an＋2n＋1，所以＝＋1.又＝1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，即an＝n·2n.8已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求数列{an}的通项公式.解析：因为a1＝2，an＋1＝，所以2a＝an，且an>0，两边取对数，得lg2＋2lgan＋1＝lgan，即lgan＋1＋lg2＝(lgan＋lg2).因为lga1＋lg2＝2lg2，所以数列{lgan＋lg

8、2}是以2lg2为首项，为公比的等比数列，所以lgan＋lg2＝2××lg2，所以an＝222－n－1.【注】(1)此题通过两边同时取对数，将一个复杂的数列转化为等比数列.通常来说，我们可以将等比数列取对数后转化成等差数列.将等差数列放到指数函数y＝ax中转化为等比数列.(2)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.考向❸由an与Sn的递推