江苏高考数学一轮复习《平面向量的平行与垂直》教程学案

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1、第57课　平面向量的平行与垂直1.理解平面向量的平行和垂直概念，并掌握平行与垂直的判定方法.2.能利用平面向量的平行和垂直解决相关问题.1.阅读：必修4第70～88页.2.解悟：①平行向量与共线向量；②平面直角坐标系下的向量平行与垂直；③第80页例5，如果是填空题，你有更简捷的做法吗？④重解第87页例4，体会方法和规范.3.践习：在教材空白处，完成第97～98页复习第9、12、13、18、21题.　基础诊断　1.已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，则实数m的值为　2　.解析：由题意得2a＋b＝(2＋m，8).因为a∥(2a

2、＋b)，所以1×8－2×(2＋m)＝0，解得m＝2，故实数m的值为2.2.已知向量a＝(1，2)，b＝(0，－1)，c＝(k，－2)，若(a－2b)⊥c，则实数k的值为　8　.解析：由题意得a－2b＝(1，4).因为(a－2b)⊥c，所以(a－2b)·c＝0，即(1，4)·(k，－2)＝0，即k－8＝0，解得k＝8，故实数k的值为8.3.已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，O为坐标原点，则实数k的值为　－　.解析：由题意得＝(4－k，－7)，＝(－k－4，5).因为A，B，C三点共线，所以5(4－k)＝(

3、－7)×(－k－4)，解得k＝－.故实数k的值为－.4.已知向量a＝(2，3)，b＝(2，－1)，向量a，t(a－b)，2b的起点相同，终点在一条直线上，则实数t的值为　2　Ｗ.解析：由题意得a，t(a－b)，2b共线，所以t(a－b)＝(1－λ)a＋2λb，整理得(t－1＋λ)a－(t＋2λ)·b＝0.因为a与b是非零向量，所以解得所以实数t的值为2.　范例导航　7考向❶与三角函数的结合例1　已知向量a＝，b＝(1，4cosα)，α∈(0，π).(1)若a⊥b，求tanα的值；(2)若a∥b，求α的值.解析：(1)因为a⊥b，所以sin＋12c

4、osα＝0，即sinα＋cosα＋12cosα＝0，即sinα＋cosα＝0.又cosα≠0，所以tanα＝－.(2)若a∥b，则4cosαsin＝3，即4cosα＝3，所以sin2α＋cos2α＝2，所以sin＝1.因为α∈(0，π)，所以2α＋∈，所以2α＋＝，即α＝.已知向量a＝，b＝(2cosθ，2sinθ)，0<θ<π.(1)若a∥b，求角θ的大小；(2)若

5、a＋b

6、＝

7、b

8、，求sinθ的值.解析：(1)因为a∥b，所以－·2sinθ＝·2cosθ，即－sinθ＝cosθ，所以tanθ＝－.7又0<θ<π，所以θ＝.(2)因为

9、a＋b

10、

11、＝

12、b

13、，所以(a＋b)2＝b2，化简得a2＋2a·b＝0.又a＝，b＝(2cosθ，2sinθ)，则a2＝1，a·b＝－cosθ＋sinθ，所以sinθ－cosθ＝－，所以sin＝－<0.又0<θ<π，cos＝，所以sinθ＝sin＝sin·cos＋cossin＝.考向❷与解三角形相结合例2　已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a，b)，q＝(sinB，sinA)，n＝(b－2，a－2).(1)若p∥q，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若p⊥n，边长c＝2，∠C＝，求△ABC的面积.解析：(1)因为p∥q，所以as

14、inA＝bsinB，所以a·＝b·(其中R是△ABC外接圆的半径)，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形.(2)因为p⊥n，所以a(b－2)＋b(a－2)＝0.所以ab＝a＋b.因为c＝2，∠C＝，所以4＝a2＋b2－2abcos，即4＝(a＋b)2－3ab，7所以ab＝4或ab＝－1(舍去)，所以S△ABC＝absinC＝×4×＝.△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a).若p∥q，则角C的大小为　　.解析：因为p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b2＝0，即c2＝a2＋b2，所以△AB

15、C是直角三角形，C＝.考向❸在多边形中的应用例3　在平面直角坐标系中，已知三点A(4，0)，B(t，2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点.(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，求

16、

17、的最小值.解析：(1)由条件得＝(t－4，2)，＝(2，t)，＝(6－t，t－2).若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，解得t＝2；若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，解得t＝6±2；若∠C＝90°，则·＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解.故满足条件的t的值为2或6±2

18、.(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝.设点D的坐标为(x，y).7即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，所以即点D(10－t，t－